2021年高考文数真题试卷（全国甲卷）

试卷更新日期：2021-06-10 类型：高考真卷

进入出卷网下载

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合 $M ＝ {1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9} ， N ＝ {x ∣ 2 x > 7}$ ，则 $M \cap^{} N ＝$ （）

A、 ${7 ， 9}$ B、 ${5 ， 7 ， 9}$ C、 ${3 ， 5 ， 7 ， 9}$ D、 ${1 ， 3 ， 5 ， 7 ， 9}$

查看试题解析
2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）

A、该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B、该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C、估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D、估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

查看试题解析
3. 已知 $（ 1 - i ）^{2} z = 3 + 2 i$ ，则z=（）

A、-1- $\frac{3}{2}$ i B、-1+ $\frac{3}{2}$ i C、- $\frac{3}{2}$ +i D、- $\frac{3}{2}$ -i

查看试题解析
4. 下列函数中是增函数的为（）

A、 $f (x) ＝ - x$ B、 $f (x) ＝ {(\frac{2}{3})}^{x}$ C、 $f (x) ＝ x^{2}$ D、 $f (x) ＝ \sqrt[3]{x}$

查看试题解析
5. 点 $(3 ， 0)$ 到双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} ＝ 1$ 的一条渐近线的距离为（）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{8}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

查看试题解析
6. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（）（ $\sqrt[10]{10}$ ≈1.259）

A、1.5 B、1.2 C、0.8 D、0.6

查看试题解析
7. 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
8. 在 $△ A B C$ 中，已知 $B ＝ 120^{\circ} ， A C ＝ \sqrt{19} ， A B ＝ 2$ ，则 $B C ＝$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{5}$ D、3

查看试题解析
9. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和．若 $S_{2} ＝ 4 ， S_{4} ＝ 6$ ，则 $S_{6} ＝$ （）

A、7 B、8 C、9 D、10

查看试题解析
10. 将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A、0.3 B、0.5 C、0.6 D、0.8

查看试题解析
11. 若 $α \in （ 0, \frac{π}{2})$ , $\tan 2 α = \frac{\cos α}{2 - \sin α}$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

查看试题解析
12. 设f(x)是定义域为R的奇函数，且f(1＋x)＝f（-x）．若 $f (- \frac{1}{3}) ＝ \frac{1}{3} ，则 f (\frac{5}{3}) ＝$ （）

A、 $- \frac{5}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

查看试题解析

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |＝3，| $\vec{a} － \vec{b}$ |＝5， $\vec{a}$ ⋅ $\vec{b}$ ＝1，则| $\vec{b}$ |＝．

查看试题解析
14. 已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为．

查看试题解析
15. 已知函数 $f (x) ＝ 2 cos (ω x ＋ φ)$ 的部分图像如图所示，则 $f (\frac{π}{2})$ ＝．

查看试题解析
16. 已知F₁ ， F₂为椭圆C： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 $| PQ | = | F_{1} F_{2} |$ ，则四边形PF₁QF₂的面积为。

查看试题解析

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

	一级品	二级品	合计
甲机床	150	50	200
乙机床	120	80	200
合计	270	130	400

(1)、甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

(2)、能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{（ a + b ）（ c + d ）（ a + c ）（ b + d ）}$

查看试题解析

18. 记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{n} > 0 ， a_{2} ＝ 3 a_{1}$ ，且数列 ${\sqrt{S_{n}}}$ 是等差数列．证明： ${a_{n}}$ 是等差数列．

查看试题解析
19. 已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 为正方形． $A B ＝ B C ＝ 2 ， E ， F$ 分别为 $A C$ 和 $C C_{1}$ 的中点， $B F ⊥ A_{1} B_{1}$ ．

(1)、求三棱锥F－EBC的体积；

(2)、已知 $D$ 为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点，证明： $B F ⊥ D E$ ．

查看试题解析
20. 设函数 $f (x) ＝ a^{2} x^{2} ＋ a x - 3 ln x ＋ 1$ ，其中a>0．

(1)、讨论f(x)的单调性；

(2)、若y＝f(x)的图像与x轴没有公共点，求a的取值范围．

查看试题解析
21. 抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线L：x = 1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2，0），且 $⊙$ M与L相切，

(1)、求 $⊙$ M的方程；

(2)、设A₁ ， A₂ ， A₃ ，是C上的三个点，直线A₁ A₂ ， A₁ A₃均与 $⊙$ M相切，判断A₂A₃与 $⊙$ M的位置关系，并说明理由.

查看试题解析

四、[选修4－4：坐标系与参数方程]。

22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ$ =2 $\sqrt{2}$ cosθ.

(1)、将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)、设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足 $\vec{AP}$ = $\sqrt{2} \vec{AM}$ ，写出 P的轨迹C₁的参数方程，并判断C与C₁是否有公共点.

查看试题解析

五、 [选修4－5：不等式选讲]

23. 已知函数f（x）=|x-2|， g（x） =|2x + 3|-|2x-1|.

(1)、画出f（x）和y=g（x）的图像；

(2)、若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围.

查看试题解析