福建省百校联合2021年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2021-06-10 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- \frac{1}{3}$ 的相反数是（）

A、3 B、-3 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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2. 据报道，研究人员通过研究获得了纯化灭活新冠病毒疫苗，该疫苗在低温电镜下呈椭圆形颗粒，最小直径约为 $90 nm$ ，已经 $1 nm = 10^{- 9} m$ ，则 $90 nm$ 用科学记数法表示为（）

A、 $90 \times 10^{- 6} m$ B、 $90 \times 10^{- 7} m$ C、 $9 \times 10^{- 8} m$ D、 $90 \times 10^{- 9} m$

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3. 下列算式运算结果为 $a^{6}$ 的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{2} \cdot a^{2}$ B、 $a^{2} + a^{2} + a^{2}$ C、 $a^{2} - a^{2} - a$ D、 ${(a^{3})}^{3}$

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4. 如图是某几何体放置在水平面上，则其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 现有一组数据：2，3，3，4，4，5，6，则下列说法正确的是（）

A、众数是3 B、众数是4 C、中位数是3.5 D、中位数是4

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6. 若要说明命题“若 $a^{2} > | b |$ ，则 $a > b$ ”不正确，则可以列举的反例是（）

A、 $a = 3$ ， $b = 2$ B、 $a = - 1$ ， $b = 3$ C、 $a = - 3$ ， $b = - 2$ D、 $a = 1$ ， $b = - 3$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别在 $A B$ ， $A C$ ， $B C$ 边上， $D E // B C$ ， $E F // A B$ ，则下列式子一定正确的是（）

A、 $\frac{A D}{D B} = \frac{D E}{B C}$ B、 $\frac{A D}{D B} = \frac{B F}{F C}$ C、 $\frac{A D}{D B} = \frac{F C}{B F}$ D、 $\frac{A D}{D B} = \frac{F C}{B C}$

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8. 如图，在 $⊙ O$ 中，半径 $A O ⊥ O B$ ，点 $P$ 是优弧 $A P B$ 上的一点，点 $C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，连接 $A P$ ， $C P$ ，则 $∠ A P C$ 的度数为（）

A、20° B、22.5° C、25° D、45°

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9. 《九章算术》有题如下：“仅有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何？”意思是：今有5只雀、6只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重、燕轻，将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相同.5只雀、6只燕重量为1斤.问燕雀每只各重多少？（注：古代1斤＝16两）若设每只雀、燕分别重 $x$ 两、 $y$ 两，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 4 x + y = 5 y + x, \\ 5 x + 6 y = 16. \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 x + y = 6 y + x, \\ 5 x + 6 y = 16. \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 4 x - y = 5 y - x, \\ 5 x + 6 y = 16. \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 x - y = 6 y - x, \\ 5 x + 6 y = 16. \end{array}$

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10. 定义：当关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 满足 $4 a - 2 b + c = 0$ 时，称此方程为“合理”方程.若“合理”方程 $m x^{2} + n x + p = 0$ 有两个相等的实数根，则下列等式正确的是（）

A、 $m = 4 n = 4 p$ B、 $m = n = 4 p$ C、 $m = 4 n = p$ D、 $4 m = n = p$

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二、填空题

11. ${(2 - \sqrt{2})}^{0} =$ .

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12. 若某斜面的坡度为 $1 : \sqrt{3}$ ，则该坡面的坡角为.

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13. 若一个半径为5的扇形的弧长为 $\frac{5 π}{3}$ ，则该扇形的面积为.

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14. 如图，其中的 $△ A B E$ 和 $△ A D C$ 是由 $△ A B C$ 分别沿着直线 $A B$ ， $A C$ 折叠得到的， $B E$ 与 $C B$ 相交于点 $I$ ，若 $∠ B A C = 140 °$ ，则 $∠ E I C =$ °.

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15. 在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A C = 8$ ， $B D = 6$ ，则菱形 $A B C D$ 的内切圆半径为.

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16. 如图，矩形 $A B C D$ 的顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 分别在反比例函数 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 和 $y = \frac{k_{2}}{x}$ （ $k_{2} > k_{1} > 0$ ， $x > 0$ ）的图象上，点 $C$ 的坐标为 $(4 ， 3)$ ， $∠ D A C = 30 °$ ，若矩形 $A B C D$ 的对称轴经过点 $O$ ，则 $k_{1} + k_{2} =$ .

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三、解答题

17. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 3 x \leq 8 - x, \\ 4 x + 1 > 3 (x - 1) . \end{array}$

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18. 先化简，再求值： $\frac{3 - a}{a - 2} \div (a + 2 - \frac{5}{a - 2})$ ，其中 $a = \sqrt{3} - 3$ .

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19. 如图，在等腰三角形 $A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ ， $E$ 在 $B C$ 边上， $A D = A E$ .求证： $△ A B D ≌ △ A C E$ .

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20. 如图，将两块完全相同的含30°角的直角三角尺的斜边叠合，可得矩形 $A B C E$ ， $∠ B = ∠ E = 90 °$ ， $∠ A C B = ∠ D F E = 30 °$ ，将 $△ D E F$ 沿水平方向向左平移，使得点 $A$ 恰好为边 $F E$ 的中点， $D F$ 与 $A B$ 相交于点 $T$ ， $A C$ 与 $D E$ 相交于点 $G$ ， $E F = 4 \sqrt{3}$ .求重重叠部分四边形 $A T D G$ 的面积.

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21. 如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $∠ D A C$ 的度数得到 $△ A E D$ .

(1)、尺规作图：确定 $△ A E D$ 的顶点 $E$ 的位置（保留作图痕迹，不写作法与证明过程）；

(2)、连接 $A E$ ， $D E$ ，设 $B C$ 的延长线交 $D E$ 于点 $G$ ，连接 $A G$ .求证： $A G$ 平分 $∠ D G B$ .

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22. 国庆期间，为了满足群众的消费需求，某电器商场计划用190000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如下表：

类别	彩电	冰箱	洗衣机
进价（元/台）	2000	1400	1000
售价（元/台）	2400	1600	1100

若在现有资金允许的范围内，购买上表中三类家电共100台，其中彩电台数是洗衣机台数的2倍，设该电器商场购买洗衣机 $x$ 台.

(1)、电器商场至多可以购买洗衣机多少台？

(2)、购买洗衣机多少台时，能使电器商场销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润为多少元？

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23. 某超市开展“五一”大酬宾，举行购物抽奖活动，奖项设置为面值不同的购物卡，分别是：一等奖120元，二等奖60元，三等奖10元，凡购买满200元及以上者，每200元可抽奖一次（不足200元一概不计入，每人当天购物最多可抽5次），每次抽奖过程如下：在一个不透明的袋子里装有三个小球，球面上分别标注数字“1”，“2”，“3”，它们除数字不同外没有任何区别.抽奖顾客先随机摸出一球，记下数字后，将小球放回袋中充分搅匀，再随机摸出一球，若两球标注的数字之和为6，则获一等奖，数字之和为5，则获二等奖，数字之和为4，则获三等奖，其余均不获奖.

(1)、试利用树状图或列表法顾客每抽奖一次分别获得一等奖、二等奖、三等奖的概率；

(2)、若此次超市大酬宾中，超市业绩调查部分随机抽查了100位顾客的消费金额并绘制成条形统计图如下（金额折算为200元的整数倍，其中扣除200元的整数倍后不足200元的部分全部去掉不计入）：

①求上述样本数据中每位顾客消费金额的平均数；

②据“五一节”当天统计，共有2500位顾客参与该超市的购物抽奖活动，已知该超市每销售100元，平均可获利20元，请根据上述样本数据分析，扣除兑现的购物卡金融外，估计这一天超市共盈利大约为多少元？

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24. 如图1， $⊙ O$ 是 $△ A C D$ 的外接圆，点 $D$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，过点 $C$ 作 $B C ⊥ A C$ ，交弦 $A D$ 的延长线于点 $B$ .

(1)、求证： $A D = B D$ ；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为6，求 $\frac{A D^{2}}{B C}$ 的值；

(3)、如图2，若 $\overset{⌢}{A C}$ 是半圆，点 $P$ 是 $⊙ O$ 上的动点，且点 $D$ ， $P$ 分别位于 $A C$ 的两侧，作 $△ A P D$ 关于 $A D$ 的轴对称图形 $△ A Q D$ ，连接 $C Q$ ，试探究 $C Q^{2}$ ， $D Q^{2}$ ， $A Q^{2}$ 三者之间满足的数量关系，并证明所得到的结论.

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25. 如图，将边长为8的正方形 $A O C D$ 放置在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，点 $D$ 在第二象限，点 $A$ 的坐标为 $(- 8 ， 0)$ ，点 $B (0 ， n)$ 在 $O C$ 边上的运动，连接 $A B$ ，取 $A B$ 的中点 $G$ ，将 $B G$ 绕点 $B$ 逆时针旋转90°得到线段 $B E$ ，顶点为 $G$ 的抛物线 $l$ 经过原点 $O$ .当 $n = 6$ 时，

(1)、求点 $E$ 的坐标；

(2)、在抛物线 $l$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $∠ P O A$ 与 $∠ A B O$ 互余？若存在，求出点 $P$ 的坐标，若不存在，请说明理由；

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