重庆市康德卷2021届高三下学期数学模拟6试卷

试卷更新日期：2021-06-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, \sqrt{2}}$ ， $B = {y | y = \cos θ, θ \in R}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、{0} C、 ${- 1, 0}$ D、 ${- 1, 0, \sqrt{2}}$

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2. 复数 $\frac{\sqrt{3} + 2 i}{2 - \sqrt{3} i} =$ （）

A、1 B、 $i$ C、-1 D、 $- i$

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3. 已知“ $p \land q$ ”是假命题，则下列选项中一定为真命题的是（）

A、 $p \lor q$ B、 $(\neg p) \land (\neg q)$ C、 $(\neg p) \lor q$ D、 $(\neg p) \lor (\neg q)$

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4. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；

关于上述样本的下列结论中，正确的是（）

A、①、③都可能为分层抽样 B、②、④都不能为分层抽样 C、①、④都可能为系统抽样 D、②、③都不能为系统抽样

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5. 若双曲线于 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴的两个端点与抛物线 $x^{2} = - 4 b y$ 的焦点是一个等边三角形的顶点，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 2$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为（）

A、9 B、5 C、 $\frac{9}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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7. 已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $M$ 为 $C_{1} D_{1}$ 的中点，点 $N$ 在正方体的表面上运动，且 $B_{1} N ⊥ A M$ ，则动点 $N$ 的轨迹长度为（）

A、 $3 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}$ C、 $3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}$ D、 $4 \sqrt{5}$

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8. 已知 $a = \log_{3} 5$ ， $b = \log_{4} 6$ ， $c = \log_{6} 7$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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二、多选题

9. 已知空间中的两个不同平面 $α$ ， $β$ 和两条不同直线 $a$ ， $b$ ，若 $α // β$ ， $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，则（）

A、直线 $a$ ， $b$ 可能平行 B、直线 $a$ ， $b$ 可能异面 C、直线 $a$ ， $b$ 可能垂直 D、直线 $a$ ， $b$ 可能相交

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10. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + \frac{5}{2}) + f (x) = 0$ ，且 $y = f (x - \frac{5}{4})$ 为奇函数，则下列关于函数 $f (x)$ 的说法中一定正确的是（）

A、周期为 $\frac{5}{2}$ B、图象关于点 $(- \frac{5}{4}, 0)$ 对称 C、是偶函数 D、图象关于直线 $x = \frac{5}{4}$ 对称

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11. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} = 3$ ， $S_{n + 1} = 2 S_{n} + n$ ，则（）

A、 $a_{n + 1} > S_{n}$ B、 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列 C、 ${\frac{S_{n}}{2^{n}}}$ 是单调递增数列 D、 $S_{n} < 2 a_{n}$

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12. 已知 $α$ ､ $β \in (0, \frac{π}{2})$ ， $\sin (α + β) = \sin α \sin β$ ，则（）

A、 $\tan α \tan β \geq 4$ B、 $\tan α + \tan β \geq 4$ C、 $\frac{\cos (α + β)}{\sin α \sin β} + \frac{\sin (α + β)}{\cos α \cos β} = 1$ D、 $- \frac{4}{3} \leq \tan (α + β) \leq - 1$

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三、填空题

13. 在等差数列{a_n}中，a₃+a₅+2a₁₀=4，则此数列的前13项的和等于．

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14. 某中学的学生会共有7名同学负责活动策划，其中高一年级3人，高二年级4人，现随机安排其中3人负责新学期的社团推广活动.要求这3人中既有高一年级的也有高二年级的，则不同的安排方案共有种.

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15. 曲线 $f (x) = x \ln x + x^{2} - x + 2$ 在点 $(x_{0} ， f (x))$ $(x_{0} > 0)$ 处的切线恰好经过坐标原点，则 $x_{0} =$ .

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16. 若函数 $f (x) = \cos (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图象在 $(0 ， π)$ 内有且只有两条对称轴，则 $ω$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{4} = \frac{13}{2}$ ， $S_{6} = 33$ .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设 ${b_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} b_{1} = 1$ ， $\frac{b_{n + 1}}{b_{n}} (a_{n + 1} - a_{n}) = 1$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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18. 现有甲､乙等6名来自三所大学的大学生(每所大学各2人)志愿者，为响应当地政府生活垃圾分类管理政策的推行，他们被随机分配到3个社区担任“垃圾分类指导员”工作，每个社区分配两名大学生.

(1)、求甲､乙两人被分配到同一社区的概率；

(2)、设有 $X$ 个社区的两名“垃圾分类指导员”来自同一所大学，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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19. 已知函数 $f (x) = {(\sin x + \cos x)}^{2} + \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} \cos^{2} x (x \in R)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆的直径为 $2 \sqrt{3}$ ，且锐角 $A$ 满足 $f (A) = 1 + \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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20. 如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，平面 $A_{1} A B B_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A_{1} D ⊥ A C$ ， $A A_{1} = 2 A B$ .

(1)、求 $∠ A_{1} A B$ 的大小；

(2)、求二面角 $A_{1} - B D - B_{1}$ 的余弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2 +} a x + 1 - \frac{1}{1 - x}$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - x - a - 1$ ，若 $g (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上无零点，求整数 $a$ 的最小值.

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22. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F (1, 0)$ ，点 $A$ ， $B$ 是椭圆 $C$ 上关于原点对称的两点，其中 $A$ 点在第一象限内，射线 $A F$ ， $B F$ 与椭圆 $C$ 的交点分别为 $M$ ， $N$ .

(1)、若 $\vec{A F} = \vec{F M}$ ， $\vec{B F} = 2 \vec{F N}$ ，求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若直线 $M N$ 的斜率是直线 $A B$ 的斜率的2倍，求椭圆 $C$ 的方程.

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