浙江省金华市东阳市2021届高三下学期数学5月模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-06-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集U=R ，集合 $A = {x ∣ - 1 < x < 1}$ ， $B = {x ∣ x (x - 2) < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ - 1 < x < 0}$ B、 ${x ∣ 1 < x < 2}$ C、 ${x ∣ 0 < x < 1}$ D、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$

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2. 已知i为虚数单位，若复数 $z_{1} = 2 + i$ ， $z = \frac{5}{z_{1}}$ 则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{5}$ C、5 D、 $5 \sqrt{5}$

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3. 若实数x ， y满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x + 2 y \geq 1 \\ x \geq y \\ 2 x - y \leq 1 \end{matrix}$ ，则 $z = 3 x + 2 y$ 的最大值是（）

A、5 B、4 C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{5}{4}$

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4. “ $m < 3$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{m + 2} + \frac{y^{2}}{m - 3} = 1$ 表示双曲线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.则该多面体的体积为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、8 C、 $\frac{16}{3}$ D、 $\frac{20}{3}$

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6. 已知点P在曲线 $y = \frac{4 \sqrt{3}}{e^{x} + 1}$ 上， $θ$ 为曲线在点P处的切线的倾斜角，则 $θ$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{π}{3}]$ B、 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ C、 $(\frac{π}{2} ， \frac{2 π}{3}]$ D、 $[\frac{2 π}{3} ， π)$

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7. 函数 $f (x) = \ln | x | + \sin x$ 在 $[- π ， π]$ 上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知A ， B ， C是椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上不同的三点，且原点O是△ABC的重心，若点C的坐标为 $(\frac{\sqrt{3} a}{2}, \frac{b}{2})$ ，直线AB的斜率为 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则椭圆 $Γ$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$

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9. 已知实数 $x \geq 0 ， y \geq 0$ ，且 $x + y = 1$ ，则 $x + \sqrt{x^{2} + 4 y^{2}}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{8}{5}$ B、2 C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $\frac{{(a_{n + 1} + 1)}^{2}}{a_{n + 1}} = \frac{{(a_{n} + 2)}^{2}}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $0 < a_{n} < 1$ 时， $a_{n + 1} > a_{n}$ B、 $a_{n} > 1$ 时， $a_{n + 1} < a_{n}$ C、 $a_{1} = \frac{1}{4}$ 时， $a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n + 1}} > 3 n + 18$ D、 $a_{1} = 4$ 时， $a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n + 1}} > 2 n + 2$

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二、填空题

11. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{1} = - 1, a_{4} = 64$ ，则 $q =$ ， $S_{4} =$ .

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12. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线 $l : y = - x + 2$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 相交于A ， B两点，则直线l的倾斜角为，弦AB的长度为

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13. 在 ${(1 + x)}^{5} + {(1 - 2 x)}^{6}$ 的展开式中，所有项的系数和等于，含 $x^{4}$ 的项的系数是.

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14. 有4个同学一起坐上公交车后，分别在后面三个不同车站中的某个车站下车，且每个车站至少有一人下车，用 $ξ$ 表示在第二个车站下车的人数，则 $P (ξ = 2) =$ ， $E (ξ) =$ .

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15. 矩形ABCD中，AB=1，AD= $\sqrt{3}$ ，现将△ABD绕BD旋转至 $△ A^{'} B D$ 的位置，当三棱锥 $A^{'} - B C D$ 的体积最大时，直线 $A^{'} B$ 和直线CD所成角的余弦值为.

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16. 在锐角△ABC中， $A B = \sqrt{3}, A C = 1$ ，D点在线段BC上，且BD=2DC ， $∠ C A D = \frac{π}{6}$ ，则△ABC的面积为.

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17. 如图，在△ABC中， $\vec{B D} = \vec{D E} = \vec{E C}$ ， $\vec{A F} = \vec{2 F B}$ ， $2 \vec{A M} = \vec{M D}$ ，直线FM交AE于点G ，直线MC交AE于点N ，若△MNG是边长为1的等边三角形，则 $\vec{M A} \cdot \vec{M C} =$ .

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (3 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象与y轴的交点坐标为(0，1)

(1)、求 $φ$ 的值；

(2)、将 $f (x)$ 图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再把其图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到 $g (x)$ 的图象，求函数 $h (x) = f (x) + 2 \cdot g^{2} (x)$ 的最大值.

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19. 如图，已知三棱锥P-ABC中，AB=AC=2，PB=BC= $2 \sqrt{3}$ ， $P C = 6$ ，Q为棱PC上的一点，且 $P Q = 2 Q C$ .

(1)、求证：BC⊥AQ；

(2)、若 $A Q = \sqrt{2}$ ，求直线AB和平面PAC所成角的正弦值.

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20. 若数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 4, 2 n \cdot a_{n} = (n + 1) \cdot S_{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 6 n - 8$ ，其前n项和为 $T_{n}$ ，若 $S_{n} \geq {(- 1)}^{n} \cdot λ \cdot T_{n}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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21. 如图，已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ ，过x轴正半轴上一点P的两条直线分别交抛物线于A､C和B､D两点，且A ， D在第一象限，直线AB与x轴的交点E在原点O和P点之间.

(1)、若P为抛物线的焦点，且 $| A P | = 3$ ，求点A的坐标；

(2)、若P为动点，且 $△ C D P$ 的面积是 $△ A B P$ 面积的3倍，求 $\frac{| O P |}{| O E |}$ 的值.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{m}{x} + \ln \frac{x}{a} (m \in R ， a > 0)$ .

(1)、若f(x)的最小值为2，求 $\frac{m}{a}$ 的值；

(2)、若m=1，a>e ，实数 $x_{0}$ 为函数f(x)大于1的零点，求证：
① $\frac{1}{2 x_{0}} + x_{0} < a - 1$

② $x_{0} + \frac{1}{x_{0}} > 2 \ln a - \ln (\ln a)$

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