浙江省嘉兴市海宁市2021届高三下学期5月适应考试数学试题

试卷更新日期：2021-06-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $U = R, A = {x | x > 1}, B = {x | - 1 < x < 2}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${x | 1 < x < 2}$ B、 ${x | 1 \leq x < 2}$ C、 ${x | - 1 < x \leq 1}$ D、 ${x | - 1 < x < 1}$

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2. 已知 $a > 0$ ，若 $z = \frac{a}{1 - i}$ ( $i$ 为虚数单位)， $| z | = 1$ ，则 $a$ =（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 若实数x ， y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 3 \geq 0 \\ x - 2 y + 3 \geq 0 \\ 2 x - y - 3 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 x - 2 y$ 的最小值是（）

A、-1 B、1 C、3 D、4

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4. 函数 $y = \sin x \cdot \ln (| x | + \frac{1}{| x |}) (x \neq 0)$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知空间中两平面 $α, β$ ，直线 $l / / α$ ，则“ $l ⊥ β$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位： ${cm}^{3}$ )是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、3 D、4

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7. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，上顶点为 $B$ ， $∠ F_{1} B F_{2} = 120^{\circ}$ ，椭圆上存在点 $P$ ，满足 $F_{1} P ⊥ F_{2} P$ ，焦点在 $y$ 轴的双曲线的一条渐近线经过点 $P$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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8. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + \frac{1}{b} = 1$ ，则下列不等式错误的是（）

A、 $2^{a} + 2^{\frac{1}{b}} \geq 2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{a} + \frac{1}{\sqrt{b}} \leq \sqrt{2}$ C、 $\frac{2}{a} + b \geq 6$ D、 $\log_{2} a - \log_{2} b \leq - 2$

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9. 已知公比不为1的正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{S_{2 n}}{S_{n}}$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $7 b_{2} \leq 8 b_{6}$ ， $b_{2} \geq b_{4} + \frac{1}{8}$ B、 $7 b_{2} \leq 8 b_{6}$ ， $b_{2} \leq b_{4} + \frac{1}{8}$ C、 $3 b_{3} \leq 4 b_{9}$ ， $b_{4} \geq b_{8} + \frac{1}{4}$ D、 $3 b_{3} \leq 4 b_{9}$ ， $b_{4} \leq b_{8} + \frac{1}{4}$

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10. 已知a ， b为实数，若对任意的 $a \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，函数 $y = | \ln (x - a) | + x^{2} - 2 a x - \frac{b}{2}$ 有2个零点，则b的取值范围是（）

A、 $(\ln 2 ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(1 + \ln 2 ， + \infty)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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二、填空题

11. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = n$ ，则 $a_{2} =$ .

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12. 直线 $l ： 2 \cos θ \cdot x + \sin θ \cdot y = 1$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 分别交于 $A ， B$ 两点，其中 $O$ 为原点， $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，若 $| A B | = 1$ ，则 $\cos θ =$ .

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13. 三棱锥P-ABC中，PA ， PB ， PC两两垂直， $P A = P B = P C = \sqrt{6}$ ，点Q为平面ABC内的动点，且满足 $P Q = \sqrt{3}$ ，记直线PQ与直线AB的所成角为 $θ$ ，则 $\sin θ$ 的取值范围为.

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14. 已知平面内不同的三点O ， A ， B满足 $| \vec{O A} | = | \vec{A B} | = 5$ ，若 $λ \in [0 ， 1]$ 时， $| λ \vec{O B} - \vec{O A} | + | (1 - λ) \vec{B O} - \frac{2}{5} \vec{B A} |$ 的最小值为 $\sqrt{41}$ ，则 $| \vec{O B} | =$ .

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15. 中国北宋数学家贾宪早于西方600多年发现了贾宪三角(如图所示)，二项式 ${(1 + x)}^{7}$ 展开式中的系数恰好对应于贾宪三角的第八行，则该展开式中 $x^{5}$ 的系数为，所有项的系数和为.

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16. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + \cos 2 x$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期为， $f (x)$ 的图象向左平移m(m>0)个单位可得到 $g (x) = \sin 2 x + \sqrt{3} \cos 2 x$ 的图象，则m的最小值为.

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17. 将一枚质地均匀的骰子连续投掷3次，若每一次投掷时出现“1点”或“2点”正面朝上，则称该次实验成功，3次投掷中成功次数记为 $ξ$ ，则 $E (ξ) =$ ；记第 $i$ 次正面朝上的点数为 $a_{i} (i = 1, 2, 3)$ ，发生“ $a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3}$ ”的事件为A ，则 $P (A) =$ .

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三、解答题

18. 在△ABC中，内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，已知 $a (\cos B + \cos C) = (b + c) \cos A$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2, c = b + \sqrt{2}$ ，求△ABC的面积.

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为平行四边形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A P ⊥ P D ， ∠ P A D = ∠ A B C = 60^{\circ} ， A P = 4 ， C D = 3$ .

(1)、证明： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、求直线AP与平面PCD所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}} ， {b_{n}} ， {c_{n}}$ 满足 $a_{n} b_{n + 1} + λ a_{n + 1} b_{n} - (2 n + 1) b_{n + 1} b_{n} = 0 ， c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}} (b_{n} \neq 0$ ， $λ \neq 0 ， λ \in R ， n \in N^{*}) .$

(1)、若 $λ = - 1 ， c_{1} = - 1 ，$ 求数列 ${c_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $λ = 1 ， c_{1} = 1$ ，记 $S_{n} = - c_{1}^{2} + c_{2}^{2} - c_{3}^{2} + \dots + {(- 1)}^{n} c_{n}^{2}$ ，证明： $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}} < 2$ .

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21. 抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 的焦点为F ，准线为 $l ， P$ 是抛物线上一点，过F的直线交抛物线于A ， B两点，直线AP､BP分别交准线 $l$ 于M､N.当 $A B / / l$ ，点P恰好与原点O重合时， $△ M N F$ 的面积为4.

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、记 $S_{△ P M N} = S_{1} ， S_{△ P A B} = S_{2} ， P$ 点的横坐标与AB中点的横坐标相等，若 $S_{1} \cdot | P F | = λ S_{2}$ ，求 $λ$ 的最小值.

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22. 已知 $f (x) = x \cdot e^{x + 1} ， g (x) = \sqrt{- 2 x - 1}$ .

(1)、求 $y = f (x) + g (x)$ 在 $x = - 1$ 处的切线方程；

(2)、若 $a f (x) \geq g (x) + \frac{x - a^{2}}{a}$ 恒成立，求a的取值范围.

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