天津市北辰区2021届高三下学期数学高考模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-06-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集 $U = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ， $A = {- 2, - 1}$ ， $B = {- 2, - 1, 0, 1}$ ，则 $(C_{U} A) \cap B =$ （）

A、 ${- 2, - 1}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 ${- 2, - 1, 0, 1}$

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2. 设 $x \in R,$ 则“ $x^{2} - 5 x > 0$ ”是“ $| x - 1 | > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 为检测疫苗的有效程度，某权威部门对某种疫苗进行的三期临床效果比较明显的受试者，按照年龄进行分组，绘制了如图所示的样本频率分布直方图，其中年龄在 $[20 ， 30)$ 内的有1400人，在 $[60 ， 70)$ 内有800人，则频率分布直方图中 $a$ 的值为（）

A、0.008 B、0.08 C、0.006 D、0.06

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5. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数且在区间 $(- \infty ， 0]$ 上单调递增，则（）

A、 $f (\log_{2} π) > f (\log_{2} \frac{1}{3}) > f (2^{- π})$ B、 $f (2^{- π}) > f (\log_{2} \frac{1}{3}) > f (\log_{2} π)$ C、 $f (\log_{2} \frac{1}{3}) > f (2^{- π}) > f (\log_{2} π)$ D、 $f (2^{- π}) > f (\log_{2} π) > f (\log_{2} \frac{1}{3})$

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6. 正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成 $60 °$ 角，则正三棱锥的外接球的体积为（）

A、4π B、16π C、 $\frac{16 π}{3}$ D、 $\frac{32 π}{3}$

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7. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F ，其准线与双曲线 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的渐近线相交于A、B两点，若 $Δ A B F$ 的周长为 $4 \sqrt{2}$ ，则 $p =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、8 D、4

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8. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x - \sqrt{3} (\sin^{2} x - \cos^{2} x)$ ，判断下列给出的四个命题，其中正确的命题有（）个.
① $f (x)$ 的最小正周期为2π；②将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，将得到一个偶函数；③函数 $y = f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{12} ， \frac{7 π}{12})$ 上是减函数；④“函数 $y = f (x)$ 取得最大值”的一个充分条件是“ $x = \frac{π}{12}$ ”

A、0 B、1 C、2 D、3

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x - 1} ， x \geq 1 \\ 4 x^{2} - 8 x + 5 ， x < 1 \end{array}$ （e为自然对数的底数），若关于x的不等式 $f (x) < a | x - 1 |$ 解集中恰含有一个整数，则实数a的取值范围为（）

A、 $(e ， 4]$ B、 $(\frac{e^{2}}{2} ， 5]$ C、 $(e ， \frac{e^{2}}{2}]$ D、 $(e ， 5]$

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二、填空题

10. 已知 $(2 + i) z = i$ (i为虚数单位)，则 $| z | =$ .

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11. 二项式 ${(\frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{x}{2})}^{6}$ 的展开式中，常数项为．

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12. 已知直线：12x－5y＝3与圆x²＋y²－6x－8y＋16＝0相交于A ， B两点，则|AB|＝.

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13. 若 $a$ ， $b$ 是正实数，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{a b}$ 的最小值为．

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14. 一个口袋里有形状一样仅颜色不同的4个小球，其中白色球2个，黑色球2个.若从中随机取球，每次只取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球四次，恰好取到两次白球”的概率为；若从中一次取2个球，只取一次，记所取球中白球可能被取到的个数为ξ ，则随机变量ξ的期望为.

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15. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 3$ ， $A C = 4$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，D在边AB上（不与端点重合）.延长CD到P ，使得 $C P = 9$ .当D为AB中点时，PD的长度为；若 $\vec{P C} = m \vec{P A} + (\frac{3}{2} - m) \vec{P B}$ （m为常数 $m \neq 0$ 且 $m \neq \frac{3}{2}$ ），则BD的长度是.

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $3 {(\sin A - \sin C)}^{2} = 3 \sin^{2} B - 2 \sin A \sin C$

(1)、求 $\cos B$ 的值；

(2)、若 $5 a = 3 b$ ，
（i）求 $\tan A$ 的值：

（ii）求 $\sin (2 A + \frac{π}{6})$ 的值.

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17. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 $A C C_{1} A_{1}$ 为矩形，且 $A A_{1} = 2 A C = 2$ ，平面 $A A_{1} B_{1} B ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ， $A B = A_{1} B = \sqrt{2}$

(1)、证明： $A B ⊥$ 平面 $B A_{1} C_{1}$ .

(2)、求异面直线 $C B$ 与 $A C_{1}$ 所成角的余弦值.

(3)、线段 $A_{1} B$ 上是否存在一点 $D$ ，使得平面 $D A C_{1}$ 与平面 $A C_{1} C_{1} A_{1}$ 所成锐二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{70}}{14}$ ？若存在，求出 $\frac{A_{1} D}{D B}$ 的值：若不存在，请说明理由.

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18. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，其右顶点为 $A$ ，下顶点为 $B$ ，且 $| A B | = \sqrt{5}$ ，若作与 $y$ 轴不重合且不平行的直线 $l$ 交椭圆 $E$ 于 $P, Q$ 两点，直线 $B P, B Q$ 分别与 $x$ 轴交于 $M, N$ 两点.

(1)、求椭圆 $E$ 的方程：

(2)、当点 $M, N$ 的横坐标的乘积是 $\frac{4}{3}$ 时，试探究直线 $l$ 是否过定点？若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.

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19. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $2 a_{5}$ ， $a_{4}$ ， $4 a_{6}$ 成等差数列，且满足 $a_{4} = 4 a_{3}^{2}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{(n + 1)}{2} b_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，且 $b_{1} = 1$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{(b_{2 n + 1} + 3) a_{n}}{(b_{2 n + 1} - 1) (b_{2 n + 1} + 1)}$ ， $n \in N^{*}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $A_{n}$ ；

(3)、设 $d_{n} = {(- 1)}^{n} [{(b_{n} + 1)}^{2} + a_{n} (b_{n} + 1)]$ ，求 ${d_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ ；

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20. 已知 $f (x) = \frac{e^{a x}}{x}$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数.

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线的方程；

(2)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $[m ， m + 1] (m > 0)$ 上的最小值；

(3)、求证： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i \cdot {(\sqrt{e})}^{i}} < \frac{7}{2 e}$ .

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