四川省德阳市2021届高三理数三模数学试卷

试卷更新日期：2021-06-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设 $i$ 是虚数单位.若复数 $z = a - \frac{2}{1 - i} (a \in R)$ 是纯虚数，则 $a$ 的值为（）

A、-3 B、1 C、-1 D、3

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2. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | \lg x \leq 0}$ .则 $A \cup B =$ （）

A、 $[0, 1]$ B、 $(0, 1]$ C、 $[- 2, 3]$ D、 $(- \infty, 3]$

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3. 如图为某商场一天营业额的扇形统计图，根据统计图你不能得出的信息为（）

A、该商场家用电器销售额为全商场营业额的40% B、服装鞋帽和百货日杂共售出29000元 C、副食的销售额为该商场营业额的10% D、家用电器部所得利润最高

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4. 已知 $p : x = - 1$ ， $q$ ：向量 $\vec{a} = (1, x)$ 与 $\vec{b} = (x + 2, x)$ 共线，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 阅读如图所示的框图，运行相应的程序，输出 $s$ 的值等于（）

A、-3 B、-10 C、0 D、-2

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6. 如图，在正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 是平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内一点，则三棱锥 $P - B C D$ 的主(正)视图与左(侧)视图的面积之比为（）

A、3：2 B、2：1 C、2：3 D、1：1

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7. 设函数 $f (x)$ 在R上可导，其导函数为 $f' (x)$ ，且函数 $f (x)$ 在 $x = - 2$ 处取得极小值，则函数 $y = x f' (x)$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的弦 $A B$ 的中点的横坐标为3，则 $| A B |$ 的最大值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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9. 设函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的图象关于直线 $x = \frac{2 π}{3}$ 对称，它的周期是π，则下列说法正确的个数为（）
①将 $f (x)$ 的图象向右平移 $| φ |$ 个单位长度得到函数 $y = 2 \sin ω x$ 的图象；② $f (x)$ 的图象过点(0，1)；③ $f (x)$ 的图象的一个对称中心是 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ ；④ $f (x)$ 在 $[\frac{π}{12} ， \frac{2 π}{3}]$ 上是减函数

A、1 B、2 C、3 D、4

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10. 若数列 ${a_{n}}$ 对于任意的正整数 $n$ 满足： $a_{n} > 0$ ，且 $a_{n} a_{n + 1} = n + 1$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为“积增数列”.已知“积增数列” ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，数列 ${a_{n}^{2} + a_{n + 1}^{2}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则对于任意的正整数 $n$ ，有（）

A、 $S_{n} \leq 2 n^{2} + 3$ B、 $S_{n} \geq n^{2} + 3 n$ C、 $S_{n} \leq n^{2} + 2 n + 4$ D、 $S_{n} \geq n^{2} + 4 n$

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11. 过双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 1)$ 的左顶点 $P$ 作斜率为1的直线 $l$ ，若直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的两条渐近线分别相交于点 $Q$ 、 $R$ ，且 $\vec{O P} + \vec{O R} = 2 \vec{O Q}$ ，则双曲线的离心率为（）（ $O$ 为原点）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = (x - x^{m} + m \ln x) e^{x} + 1 (m < 0)$ ，若存在 $x_{0} > 1$ ，使 $f (x_{0}) \leq 0$ ，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - e)$ B、 $(- \infty ， - e]$ C、 $[- e ， 0)$ D、 $(- e ， 0)$

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二、填空题

13. 等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{1} + a_{3} + a_{5} = 21$ ，则 $a_{3} + a_{5} + a_{7} =$ ．

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14. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} 2 x - y + 6 \geq 0 \\ x + y \geq 0 \\ x \leq 2 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = x - y$ 的最大值为．

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15. $(1 + x + x^{2}) \cdot {(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为．

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16. 在直角三角形 $A B C$ 中， $A C = 1$ ， $D$ 是斜边 $A B$ 的中点，将 $△ B C D$ 沿直线 $C D$ 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得 $C B ⊥ A D$ ，则 $B C$ 边长的最大值为.

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三、解答题

17. 为了更好的开展高中数学综合实践课的教学，结合高中数学与物理紧密联系的特点，某高级中学数学组与物理组进行联合教学实践活动.在一次实践活动中，某班学生分成五组进行物理实验（研究某物理现象中两个物理量

x

、

y

之间的关系），得到五组数据如下表所示.

组号	1	2	3	4	5
物理量 $x$	12	11	13	10	9
物理量 $y$	27	25	29	24	20

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、为了减少一定的运算量，同学们决定用前三组的数据研究两个物理量

x

、

y

的线性回归方程，并由该回归方程预估第4，5组物理量

y

的值，若产生的残差的绝对值不超过1，则认为本次实践活动成功.请问本次实践活动是否成功？并说明理由；

(2)、老师打算从这五组学生中随机选取两组学生进行校本科研课题：《数学与物理深度融合研究》的问卷调查，记组号差的绝对值为

X

，求

X

的分布列与数学期望.

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18. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 1$ ， $P$ 为 $△ A B C$ 内一点，且 $P B ⊥ P C$ .

(1)、若 $P B = \frac{1}{2}$ ，求 $P A$ ；

(2)、若 $∠ A P B = 150 °$ ，设 $∠ P B A = α$ ，求 $\tan α$ .

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19. 四棱锥 $E - A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A D = A E = 2 B C = 2 A B = 2$ ， $A B ⊥ A D$ ，平面 $E A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $F$ 为 $D E$ 的中点.

(1)、求证：向量 $\vec{C F}$ 、 $\vec{E A}$ 、 $\vec{B A}$ 共面；

(2)、若 $C F ⊥ A D$ ，求二面角 $D - C F - B$ 的余弦值.

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20. 设圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 15 = 0$ 的圆心为 $P$ ，过点 $Q (1, 0)$ 且与 $x$ 轴不重合的直线交明 $P$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，过 $Q$ 作 $M P$ 的平行线交 $P N$ 于点 $E$ .

(1)、证明 $| E P | + | E Q |$ 为定值，并写出点 $E$ 的轨迹 $R$ 的方程；

(2)、已知点 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，过点 $P (- 1, 0)$ 的直线 $l$ 与曲线 $R$ 交于 $C$ 、 $D$ 两点.记 $△ A B D$ 与 $△ A B C$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，求 $| S_{1} - S_{2} |$ 的最大值.

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21. 已知函数 $y (x) = \ln x - a x + 1$ .

(1)、求 $y (x)$ 的极值；

(2)、已知 $a \geq 1$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} y (x) (x \geq a) \\ e^{x - 1} + (a - 2) x (x < a) \end{array}$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \neq 0$ 恒成立，试确定 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $M$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + 2 \cos β \\ y = 1 + 2 \sin β \end{array}$ ( $β$ 为参数)，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 $l_{1}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{π}{4}$ ，直线 $l_{2}$ 的极坐标方程为 $θ = \frac{3 π}{4}$ .

(1)、写出曲线 $M$ 的极坐标方程，并指出它是何种曲线；

(2)、设 $l_{1}$ 与曲线 $M$ 交于 $A$ ､ $C$ 两点， $l_{2}$ 与曲线 $M$ 交于 $B$ ､ $D$ 两点，求四边形 $A B C D$ 面积.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - a | + | 2 x + 3 |$ ， $g (x) = | x - 1 | + 2$ ．

(1)、解不等式 $| g (x) | < 5$ ．

(2)、若对任意 $x_{1} \in R$ ，都有 $x_{2} \in R$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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