上海市嘉定区2021届高三数学三模试卷

试卷更新日期：2021-06-10 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $A = {- 1, 2 m - 1}$ ， $B = {m^{2}}$ ，若 $B \subseteq A$ ，则实数 $m =$ ．

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2. 计算： $\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n + 1} - 1}{3^{n} + 2^{n}} =$ .

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3. 若复数 $z = (1 + i) \cdot i$ （其中i为虚数单位），则共轭复数 $\bar{z} =$ .

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4. 不等式 $\ln^{2} x - \ln x^{2} < 0$ 的解集是.

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5. 已知x ， y满足 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \geq 0 \\ x + 2 y - 3 \leq 0 \\ y \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = - y + 2 x$ 的最小值为.

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6. 若两个球的表面积之比为 $1 ： 4$ ，则这两个球的体积之比为．

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7. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ，且 $A B C$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ，则 $∠ B A C =$ .

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8. $(1 + \frac{1}{x^{3}}) {(1 - x)}^{6}$ 展开式中的常数项为.

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9. 设椭圆 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ ，直线l过 $Γ$ 的左顶点A交y轴于点P ，交 $Γ$ 于点Q ，若 $△ A O P$ 为等腰三角形（O为坐标原点），且Q是 $A P$ 的中点，则 $Γ$ 的长轴长等于.

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10. 有大小相同的红、黄、蓝三种颜色的小球各3个，且每种颜色的3个小球上分别标注号码1、2、3，从中任取3个球，则取出的3个球颜色齐全但号码不全的概率是.

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11. 若圆O的半径为2，圆O的一条弦 $A B$ 长为2，P是圆O上任意一点，点P满足 $\vec{B P} = \frac{1}{2} \vec{P Q}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A Q}$ 的最大值为.

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12. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 $2^{0}$ ，接下来的两项是 $2^{0}$ ， $2^{1}$ ，再接下来的三项是 $2^{0}$ ， $2^{1}$ ， $2^{2}$ ，依此类推，若该数列的前n项和为2的整数幂，如 $S_{1} = 2^{0}$ ， $S_{2} = 2^{1}$ ， $S_{3} = 2^{2}$ ，则称 $S_{n} = 2^{k}$ ， $k \in N$ ， $n \in N^{*}$ 中的 $(n, k)$ 为“一对佳数”，当 $n \geq 100$ 时，首次出现的“一对佳数”是.

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二、单选题

13. 已知两条直线 $l_{1} : a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0$ ， $l_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0$ ，则“ $| \begin{array}{l} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array} | = 0$ ”是“两直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14. 设抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F ，过点F作直线交抛物线于A ， B两点，若线段 $A B$ 的中点E到y轴的距离为3，则弦 $A B$ 的长为（）

A、等于10 B、大于10 C、小于10 D、与l的斜率有关

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15. 曲线 $y = {(\sin x + \cos x)}^{2}$ 和直线 $y = \frac{1}{2}$ 在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ，…，则 $| P_{2} P_{4} |$ 等于（）

A、π B、2π C、3π D、4π

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三、解答题

16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知 $P A$ $⊥$ 平面 $A B C D$ ，且四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A B C = ∠ B A D = 90 °$ ， $A B = A D = A P = 2$ ， $B C = 1$ .且Q为线段 $B P$ 的中点

(1)、求直线 $C Q$ 与 $P D$ 平面所成角的大小；

(2)、求直线 $C Q$ 与平面 $A D Q$ 所成角的大小

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17. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a、b、c ，且 $2 \cos^{2} \frac{A - B}{2} \cos B -$ $\sin (A - B) \sin B + \cos (A + C)$ $= - \frac{3}{5}$

(1)、求 $\cos A$ 的值；

(2)、若 $a = 4 \sqrt{2}$ ， $b = 5$ ，求B和c.

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18. 数学建模小组检测到相距3米的A ， B两光源的强度分别为a ， b ，异于A ， B的线段 $A B$ 上任意一点C处的光强度y等于两光源到该处的强度之和，设 $A C = x$ 米.

(1)、假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离的平方成反比，比例系数为常数 $k (k > 0)$ ，测得数据：当 $x = 1$ 时， $y = \frac{33}{4} k$ ；当 $x = 2$ 时， $y = 3 k$ ，求A ， B两处的光强度，并写出函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离成反比，比例系数为常数 $k (k > 0)$ ，测得数据：当 $x = 1$ 时， $y = \frac{5}{2} k$ ；当 $x = 2$ 时， $y = 2 k$ ，问何处的光强度最弱？并求最弱处的光强度.

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19. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = 2 x$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一条渐近线，点 $A (1, 0)$ 在双曲线C上，设 $M (m, n) (n \neq 0)$ 为双曲线上的动点，直线 $A M$ 与y轴相交于点P ，点M关于y轴的对称点为N ，直线 $A N$ 与y轴相交于点Q.

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、在x轴上是否存在一点T？使得 $| \vec{T P} + \vec{T Q} | = | \vec{P Q} |$ ，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由；

(3)、求M点的坐标，使得 $△ M P Q$ 的面积最小.

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20. 对于数列 ${a_{n}}$ ，若存在常数 $M > 0$ 对任意 $n \in N^{*}$ 恒有 $| a_{n + 1} - a_{n} | + | a_{n} - a_{n - 1} | + \dots + | a_{2} - a_{1} | \leq M$ ，则称 ${a_{n}}$ 是“ $γ -$ 数列”.

(1)、首项为 $a_{1}$ ，公差为d的等差数列是否是“ $γ -$ 数列”？并说明理由；

(2)、首项为 $a_{1}$ ，公比为q的等比数列是否是“ $γ -$ 数列”？并说明理由；

(3)、若数列 ${a_{n}}$ 是 $γ -$ 数列，证明： ${a_{n}^{2}}$ 也是“ $γ -$ 数列”，设 $A_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}$ ，判断数列 ${A_{n}}$ 是否是“ $γ -$ 数列”？并说明理由.

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