陕西省2021届高三下学期文数教学质量检测测评（六）试卷

试卷更新日期：2021-06-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设 $z = \frac{3 i - 1}{2 - i^{2021}}$ ， $i$ 为虚数单位，则 $z =$ （）

A、 $- 1 - i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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2. 已知全集 $U = {x \in Z | \frac{6}{x - 1} \in Z}$ ，集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 2}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${- 5 ， 0 ， 1 ， 4 ， 7}$ B、 ${0 ， 1 ， 3 ， 4 ， 7}$ C、 ${- 5 ， 0 ， 3 ， 4 ， 7}$ D、 ${0 ， 3 ， 4 ， 5 ， 7}$

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3. 某种碘是一种放射性物质，该碘最初一段时间衰减的时间 $x$ （单位：分钟）与剩余量 $y$ （单位：克）存在着较强的线性相关关系．如表是某校化学社团师生观测该碘在5天内衰减情况得出的一组数据，则 $y$ 对 $x$ 的线性回归方程可以是（）

$x$ （单位：分钟）

10

20

30

40

50

$y$ （单位：克）

22.5

19

17.5

15

11

A、 $\hat{y} = - \frac{1}{5} x + 20$ B、 $\hat{y} = - \frac{1}{5} x + 23$ C、 $\hat{y} = \frac{1}{5} x + 23$ D、 $\hat{y} = \frac{1}{5} x + 20$

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4. 杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦．“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》．语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的含《新安吏》和《无家别》的概率是（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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5. 直线 $7 x - 24 y + m = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 0$ 相切，则正实数 $m$ 的取值是（）

A、 $25 \sqrt{5} - 55$ 或 $25 \sqrt{5}$ B、 $25 \sqrt{5} + 55$ 或 $25 \sqrt{5} - 55$ C、 $25 \sqrt{5} - 55$ D、 $25 \sqrt{5} + 55$

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6. 已知 $S_{n}$ 是公比为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $\frac{1}{2} a_{4}$ 是 $S_{4} - S_{2}$ 与 $a_{3} - 8 a_{1}$ 的等差中项，则 ${a_{n}}$ 的公比 $q$ 的值为（）

A、8 B、4 C、2 D、1

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7. “欢乐颂”是尊称为“乐圣”“交响乐之王”的神圣罗马帝国音乐家贝多芬一生创作的重要作品之一．如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数 $y = 4 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象上，且图象过点 $(\frac{π}{24} ， 2)$ ，相邻最大值与最小值之间的水平距离为 $\frac{π}{2}$ ，则是函数的单调递增区间的是（）

A、 $[- \frac{π}{3} ， - \frac{π}{4}]$ B、 $[\frac{π}{8} ， \frac{5 π}{24}]$ C、 $[\frac{5 π}{24} ， \frac{3 π}{8}]$ D、 $[\frac{5 π}{8} ， \frac{3 π}{4}]$

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8. 执行如图所示的程序框图，则输出的 $S$ 的值和循环次数 $n$ 分别是（）

A、 $S = 44$ ， $n = 6$ B、 $S = 44$ ， $n = 7$ C、 $S = 2$ ， $n = 7$ D、 $S = 2$ ， $n = 6$

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9. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (2 - x)$ ．当 $1 \leq x \leq 2$ 时， $f (x) = \log_{2} (x + 7)$ ，则 $f (2021) =$ （）

A、3 B、-3 C、-5 D、5

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10. 四棱锥 $P - O A B C$ 中，底面 $O A B C$ 是正方形， $O P ⊥ O A$ ， $O A = O P = a$ ． $D$ 是棱 $O P$ 上的一动点，E是正方形 $O A B C$ 内一动点， $D E$ 的中点为 $Q$ ，当 $D E = a$ 时， $Q$ 的轨迹是球面的一部分，其表面积为 $3 π$ ，则 $a$ 的值是（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{6}$ C、 $3 \sqrt[{}^{3}]{6}$ D、6

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11. $P$ 是双曲线 $M$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 右支上第一象限内的一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是左、右焦点， $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆是圆 $C$ ，当圆 $C$ 的面积为 $4 π$ 时，直线 $P F_{2}$ 的斜率为（）

A、 $\pm \frac{4}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ 或0 C、0 D、 $\frac{4}{3}$

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12. 三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 为正三角形， $A C = 2 P C = 4$ ， $∠ P C B = ∠ P C A = \frac{π}{3}$ ，则该三棱锥外接球的表面积为（）

A、22π B、20π C、18π D、16π

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二、填空题

13. 已知点 $P (x ， y)$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x - y \geq 0 \\ x - 2 y \leq 0 \\ 2 x + y - 2 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = 4 x + y$ 的最大值为．

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14. 平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， - 2)$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ ， $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 5$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | =$ ．

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15. 函数 $f (x) = ln x - \frac{2 x^{2}}{x + 1}$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为．

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16. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{2 a_{2}} + \frac{1}{3 a_{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{n a_{n}} = \frac{3 n}{2 n + 1}$ ，若 $\frac{λ}{a_{n}} \leq 2$ 恒成立，则 $λ$ 的最大值是

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三、解答题

17. 为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取100名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为2：3，抽取的学生中男生有20名对讲座活动满意，女生中有20名对讲座活动不满意．

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

$p (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、完成

2 \times 2

列联表，并回答能否有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；

	满意	不满意	合计
男生
女生
合计			100

(2)、从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样抽取6名学生，再在这6名学生中抽取2名学生，谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中1名男生与1名女生的概率．

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18. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b \sin B = a \sin A + (b - c) \sin C$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $b {}^{2}+ c^{2} + 2 a^{2} = 8$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19. 如图，点 $A$ 是腰长为2的等腰直角三角形 $O B C$ 的底边 $O C$ 的中点， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，将 $△ O A B$ 沿 $A B$ 折起，此时点 $O$ 记作点 $P$ ．

(1)、当三棱锥 $P - A B C$ 的体积最大时，证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若二面角 $P - A B — C$ 的大小为120°，求三梭锥 $P - A B C$ 的体积．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x {}^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (3 ， - \frac{16}{5})$ ，离心率 $e = \frac{3}{5}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $P$ 引椭圆的弦 $P Q$ ，设 $P Q$ 中点 $M$ ，当直线 $P Q$ 的斜率 $k_{1}$ 存在且不为0时，直线 $O M$ 的斜率为 $k_{2}$ （ $O$ 为坐标原点），求 $k_{1} k_{2}$ 的值．

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21. 已知函数 $f (x) = 1 n x$ ， $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 6 x$ ， $h (x) = 3 a e^{x}$ ．

(1)、设 $F (x) = g (x) + 8 f (x)$ ，求函数 $F (x)$ 的单调区间；

(2)、设 $H (x) = h (x) - f (x) - 1$ ，当函数 $H (x)$ 有两个零点时，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 1 - \frac{t}{2} \\ y = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数）．以坐标原点为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{2} \sin (θ - \frac{π}{4})$ ．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程，并说明直线 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系．

(2)、直线 $l$ 与圆的相交弦为 $A B$ ， $P (m ， n)$ 是弦 $A B$ 上动点，求 $m + \sqrt{3} n$ 的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = | 3 x + a | + | 3 x - 2 | + 1$ ．

(1)、当 $a = 5$ 时，求不等式 $f (x) \leq 10$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 9$ 恒成立时，求实数 $a$ 的取值范围．

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$x$ （单位：分钟）	10	20	30	40	50
$y$ （单位：克）	22.5	19	17.5	15	11