山东省潍坊市2021届高三数学三模试卷

试卷更新日期：2021-06-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5}$ ，集合 $A = {1, 2}$ ， $B = {3, 4}$ ，则集合 ${5} =$ （）

A、 $∁_{U} (A \cup B)$ B、 $(∁_{U} A) \cup (∁_{U} B)$ C、 $(∁_{U} A) \cup B$ D、 $(∁_{U} B) \cup A$

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2. 设复数z₁ ， z₂在复平面内的对应点关于虚轴对称，z₁=2+i，则z₁z₂=（　　）

A、-5 B、5 C、-4+i D、-4-i

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3. 某学校参加志愿服务社团的学生中，高一年级有50人，高二年级有30人，高三年级有20人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了6人，则从高三年级的学生中应抽取的人数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A E} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ，若 $\vec{E D} = λ \vec{A D} + μ \vec{A B}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、1 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5. “ $\tan α = 2$ ”是“ $\cos (2 α - \frac{π}{2}) = \frac{4}{5}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 某地区为落实乡村振兴战略，帮助农民脱贫致富，引入一种特色农产品种植，该农产品上市时间仅能维持5个月，预测上市初期和后期会因产品供应不足使价格持续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．经研究其价格模拟函数为 $f (t) = t {(t - 3)}^{2} + n$ ，（ $0 \leq t \leq 5$ ，其中 $t = 0$ 表示5月1日， $t = 1$ 表示6月1日，以此类推）．若 $f (2) = 6$ ，为保护农户的经济效应，当地政府计划在价格下跌时积极拓宽外销，请你预测该农产品价格下跌的月份为（）

A、5月和6月 B、6月和7月 C、7月和8月 D、8月和9月

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7. 双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与双曲线 $C$ 的右支在第一象限的交点为 $A$ ，与 $y$ 轴的交点为 $B$ ，且 $△ A B F_{2}$ 为等边三角形，则以下说法正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm x$ B、若双曲线 $C$ 的实轴长为2，则 $S_{△ A F_{1} F_{2}} = \sqrt{3}$ C、若双曲线 $C$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，则点 $A$ 的纵坐标为 $\sqrt{3}$ D、点 $F_{2}$ 在以 $A F_{1}$ 为直径的圆上

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8. 定义：两个正整数 $a$ ， $b$ ，若它们除以正整数 $m$ 所得的余数相等，则称 $a$ ， $b$ 对模 $m$ 同余，记作 $a \equiv b (\mod m)$ ，比如： $26 \equiv 16 (\mod 10)$ ．已知 $n = C_{10}^{0} + C_{10}^{1} \cdot 8 + C_{10}^{2} \cdot 8^{2} + \cdot \cdot \cdot + C_{10}^{10} \cdot 8^{10}$ ，满足 $n \equiv p (\mod 10)$ ，则 $p$ 可以是（）

A、23 B、21 C、19 D、17

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二、多选题

9. 已知函数 $y = a^{x}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知 $α$ ， $β$ 是两个平面， $m$ ， $n$ 是两个条件，则下列结论正确的是（）

A、如果 $m ⊥ α$ ， $n // α$ ，那么 $m ⊥ n$ B、如果 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n // β$ ，那么 $α ⊥ β$ C、如果 $α // β$ ， $m \subset α$ ，那么 $m // β$ D、如果 $m // α$ ， $n // β$ 且 $α // β$ ，那么 $m // n$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x - \sin 2 x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的周期为 $2 π$ B、 $y = f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{π}{2}$ 对称 C、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $f (x)$ 在区间在 $(\frac{2 π}{3} ， \frac{4 π}{3})$ 上单调递减

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12. 如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（）

A、第6行第1个数为192 B、第10行的数从左到右构成公差为 $2^{10}$ 的等差数列 C、第10行前10个数的和为 $95 \times 2^{9}$ D、数表中第2021行第2021个数为 $6061 \times 2^{2020}$

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三、填空题

13. 在一次期中考试中某学校高三全部学生的数学成绩 $X$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，若 $P (X \geq 90) = 0.5$ ，且 $P (X \geq 110) = 0.2$ ，则 $P (X \leq 70) =$ ．

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14. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x ， x \leq 1 ， \\ {(x - 1)}^{2} + 1 ， x > 1 ， \end{array}$ 则不等式 $f (1 - | x |) + f (2) > 0$ 的解集为．

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15. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $A$ ， $B$ 在椭圆上，且满足 $\vec{A F_{1}} = 2 \vec{F_{1} B}$ ， $\vec{A F_{2}} \cdot \vec{A F_{1}} = 0$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为．

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16. 阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为．

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四、解答题

17. 已知正项等比数列

{a_{n}}

，其中

a_{1}

，

a_{2}

，

a_{3}

分别是下表第一、二、三行中的某一个数，令

b_{n} = 2 \log_{2} a_{n}

．

	第一列	第二列	第三列
第一行	5	3	2
第二行	4	10	9
第三行	18	8	11

(1)、求数列

{a_{n}}

和

{b_{n}}

的通项公式；

(2)、设数列

{\frac{1}{b_{n}^{2} - 1}}

的前

n

项和为

T_{n}

，证明：

T_{n} < \frac{1}{2}

．

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $M$ 是 $A C$ 上的点， $B M$ 平分 $∠ A B C$ ， $△ A B M$ 的面积是 $△ B C M$ 面积的2倍．

(1)、求 $\frac{\sin C}{\sin A}$ ；

(2)、若 $\cos B = \frac{1}{4}$ ， $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 如图，已知 $△ A B C$ 是以 $A C$ 为底边的等腰三角形，将 $△ A B C$ 绕 $A B$ 转动到 $△ P A B$ 位置，使得平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，连接 $P C$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $P A$ ， $C A$ 的中点．

(1)、证明： $E F ⊥ A B$ ；

(2)、在① $S_{△ A B C} = 3 \sqrt{3}$ ，②点 $P$ 到平面 $A B C$ 的距离为3，③直线 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成的角为60°这三个条件中选择两个作为已知条件，求二面角 $E - B F - A$ 的余弦值．

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20. 第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2月20日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，1998年中国女子冰壶队第一次参加奥运会冰壶比赛就获得了铜牌．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线 $M N$ 的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线 $M N$ 将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心 $O$ 的远近决定胜负．
某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：

①每人至多投3次，先在点 $M$ 处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；

②自第二次投掷开始均在点 $A$ 处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；

③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．

已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．

(1)、求甲通过测试的概率；

(2)、设 $Y$ 为本次测试中乙的得分，求 $Y$ 的分布列；

(3)、请根据测试结果来分析，甲，乙两人谁的水平较高？

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21. 设抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y$ （ $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ，点 $P (m ， 2)$ （ $m > 0$ ）在抛物线 $C$ 上，且满足 $| P F | = 3$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $G (0 ， 4)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，分别以 $A$ ， $B$ 为切点的抛物线 $C$ 的两条切线交于点 $Q$ ，求三角形 $P Q G$ 周长的最小值．

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22. 设函数 $f (x) = x \ln x$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(e^{- 2} ， f (e^{- 2}))$ 处的切线方程；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有两个实根，设为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），证明： $x_{2} - x_{1} < 1 + 2 a + e^{- 2}$ ．

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