山东省泰安肥城市2021届高三三模数学试题

试卷更新日期：2021-06-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 3}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 2 > 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $R$ B、 ${x | - 1 < x < 2}$ C、 ${x | - 2 < x < - 1}$ D、 $\emptyset$

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2. 命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是（）

A、所有奇函数的图象都不关于原点对称 B、所有非奇函数的图象都关于原点对称 C、存在一个奇函数的图象不关于原点对称 D、存在一个奇函数的图象关于原点对称

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3. 已知复数 $z =$ $\cos θ + i \sin θ$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| z - 2 i |$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 在 $△ A B C$ 中， $A C = 3$ ， $B C = 2$ ， $\cos C = \frac{3}{4}$ ，则 $\tan A =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$

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5. 已知平面四边形 $A B C D$ 满足 $\overset{⇀}{A D} = \frac{1}{4} \overset{⇀}{B C}$ ，平面内点 $E$ 满足 $\overset{⇀}{B E} = 3 \overset{⇀}{C E}$ ， $C D$ 与 $A E$ 交于点 $M$ ，若 $\overset{⇀}{B M} = x \overset{⇀}{A B} + y \overset{⇀}{A D}$ ，则 $x + y =$ （）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $- \frac{5}{2}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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6. 某化工厂对产生的废气进行过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 $P$ （单位： $mg/L$ ）与时间（单位： $h$ ）间的关系为： $P = P_{0} e^{- k t}$ ，其中 $P_{0}, k$ 是正的常数．如果在前 $5 h$ 消除了 $10 %$ 的污染物，则污染物减少 $50 %$ 需要花费的时间为（）
（精确到 $1 h$ ，参考数据 $\log_{0.9} 0.5 \approx 6.579$ ）

A、30 B、31 C、32 D、33

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7. 已知某城市9月平均气温为 $28.5 ° C$ ，如当月最热日和最冷日的平均气温相差不超过 $10 ° C$ ，则该月平均气温在 $30 ° C$ 及以上的日子最多有多少天？（）

A、24 B、25 C、26 D、27

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8. 如图， $A B$ 为圆锥底面直径，点 $C$ 是底面圆 $O$ 上异于 $A ， B$ 的动点，已知 $O A = \sqrt{3}$ ，圆锥侧面展开图是圆心角为 $\sqrt{3} π$ 的扇形，当 $P B$ 与 $B C$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ 时， $P B$ 与 $A C$ 所成角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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二、多选题

9. 已知定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 满足 $f (- x) = - f (x)$ ，函数 $y = f (x + 1)$ 为偶函数，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = \log_{2} (x + a)$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 是周期为4的周期函数 B、 $f (2020) + f (2021) = 1$ C、当 $x \in (1 ， 2]$ 时， $f (x) = \log_{2} (x + 1)$ D、不等式 $f (x) > \frac{1}{2}$ 的解集为 $(\sqrt{2} - 1 + 4 k ， 3 - \sqrt{2} + 4 k) ， k \in Z$

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10. 请根据以下资料判断下列说法正确的有（）

2012-2020年我国海洋主题公园年末数量（单位：家）

2012--2020年全年游客规模（单位：万人次）

A、2020年我国平均每家海洋主题公园全年游客规模比2012年大 B、已知2013年初—2020年末我国所有开业的海洋主题公园都持续营业，则该期间我国平均约两个半月开一家海洋主题公园 C、2015—2019年间累计游客规模超过3亿人次 D、2013—2020年间，年末公园数量同比增量和游客规模同比增量最大的年份是同一个

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2} ，$ 直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 相切于点 $P$ ，与椭圆相交于 $A ， B$ 两点，点 $A$ 在 $x$ 轴上方，则（）

A、弦长 $| A B |$ 的最大值是 $\frac{b c}{a}$ B、若 $l$ 方程为 $y = b x + a$ ，则 $c = b^{2}$ C、若直线 $l$ 过右焦点 $F_{2}$ ，且切点 $P$ 恰为线段 $A F_{2}$ 的中点，则椭圆的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、若圆 $x^{2} + y^{2} = b^{2}$ 经过椭圆的两个焦点，且 $| A F_{1} | + | A F_{2} | = 2 \sqrt{2}$ ，设点 $P$ 在第一象限，则 $△ A B F_{2}$ 的周长是定值 $2 \sqrt{2}$

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12. 函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 ω x + 2 \sin^{2} ω x - 1 (ω > 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $y = | f (x) |$ 的最小正周期为 $π$ ，则 $ω = 1$ B、若 $ω = 1$ ，则 $(- \frac{5}{12} π ， 0)$ 是 $f (x)$ 的一个对称中心 C、若 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3} ， π)$ 内单调，则 $0 < ω \leq \frac{1}{3}$ D、若 $g (x) = f (x) - 4 ω x$ 在 $(0 ， π)$ 上恰有2个极值点，则 $\frac{13}{12} < ω \leq \frac{25}{12}$

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三、填空题

13. 请写出一个值域为 $[0, 2]$ 且在 $[0, 4]$ 上单调递减的偶函数．

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14. 已知大于3的素数只分布在 ${6 n - 1}$ 和 ${6 n + 1}$ 两数列中（其中 $n$ 为非零自然数），数列 ${6 n - 1}$ 中的合数叫阴性合数，其中的素数叫阴性素数；数列 ${6 n + 1}$ 中的合数叫阳性合数，其中的素数叫阳性素数．则从30以内的素数中任意取出两个，恰好是一个阴性素数，一个阳性素数的概率是．

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15. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $O$ 是坐标原点，过点 $F_{2}$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ， $P F_{1}$ 交双曲线的另一条渐近线于点 $Q$ ，且满足 $3 \vec{F_{1} Q} = 2 \vec{F_{1} P},$ 则双曲线的渐近线的斜率为．

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16. 已知函数 $f (x) = x (\sin x + 1) + a \cos x$ ，当 $a > 2$ 时，函数 $g (x) = f (x) - 3$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上有唯一零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 在① $a_{1} + 1 ， a_{3} - 1 ， a_{6} - 3$ 成等比数列，② $S_{5}$ 是 $a_{3}$ 和 $a_{23}$ 的等差中项，③ ${a_{2 n}}$ 的前 $6$ 项和是 $78$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
已知数列 ${a_{n}}$ 为公差大于 $1$ 的等差数列， $a_{2} = 3$ ，且前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若_______，数列 ${b_{n}}$ 为等比数列， $b_{5} = 8 b_{2}$ 且 $b_{4} = a_{8} + 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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18. 已知锐角 $Δ A B C$ 的外接圆半径为 $1$ ，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $S$ 且 $\sqrt{3} a^{2} = 4 S + \sqrt{3} (c^{2} - b^{2})$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、求 $\frac{b c}{a}$ 的取值范围．

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19. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A B = A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $B B_{1} = 2$ ，点 $M$ 为 $C C_{1}$ 中点.

(1)、试确定线段 $A B_{1}$ 上一点 $N$ ，使 $A C //$ 平面 $B M N$ ；

(2)、在（1）的条件下，若平面 $A B C$ $⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ， $∠ A B B_{1} = 60 °$ ，求平面 $B M N$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成锐二面角的余弦值．

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20. 已知三点 $O (0, 0) ， A (1, - 2) ， B (1, 2)$ ， $M (x, y)$ 为曲线 $C$ 上任意一点，满足 $| \vec{M A} + \vec{M B} |$ $= \vec{O M} \cdot (\vec{O A} + \vec{O B}) + 2$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $P (1, 2)$ ， $R, S$ 为曲线 $C$ 上的不同两点，且 $P R ⊥ P S$ ， $P D ⊥ R S$ ， $D$ 为垂足，证明：存在定点 $Q$ ，使 $| D Q |$ 为定值．

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21. 俗话说：“天上蟠桃，人间肥桃．”肥桃又名佛桃、寿桃，因个大，味儿美，营养丰富，被誉为“群桃之冠”，迄今已有1200多年的栽培历史，自明朝起即为皇室贡品．七月份，肥城桃——“大红袍”上市了，它满身红扑扑的，吃起来脆脆甜甜，感觉好极了，吸引着全国各地的采购商．
山东省肥城桃开发总公司从进入市场的“大红袍”中随机抽检100个，利用等级分类标准得到数据如下：

等级

$A$ 级

$B$ 级

$C$ 级

个数

40

40

20

(1)、以表中抽检的样本估计全市“大红袍”等级，现从全市上市的“大红袍”中随机抽取10个，若取到 $k$ 个 $A$ 级品的可能性最大，求 $k$ 值；

(2)、一北京连锁超市采购商每年采购 $A$ 级“大红袍”，前 20年“大红袍”在此超市的实际销量统计如下表：

销量（吨）

15

16

17

18

19

20

年数

2

4

5

6

2

1

今年 $A$ 级“大红袍”的采购价为0.8万元/吨，超市以1.6万元/吨的价格卖出，由于桃不易储存，卖不完当垃圾处理．超市计划今年购进17吨或18吨“大红袍”，你认为应该购进17吨还是18吨？请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + a x (a > 0)$ ， $g (x) = (x + 1) \ln (x + 1)$ ，且曲线 $y = f (x)$ 和 $y = g (x)$ 在原点处有相同的切线．

(1)、求实数 $a$ 的值，并证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) > g (x)$ ；

(2)、令 $b_{n} = \frac{\ln (n + 1)}{n + 1}$ ，且 $T_{n} = b_{1} \cdot b_{2} \cdot b_{3} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot b_{n} (n \in N^{*})$ ，证明： $(n + 2) T_{n} < e^{1 - \frac{n}{2}}$ ．

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等级	$A$ 级	$B$ 级	$C$ 级
个数	40	40	20

销量（吨）	15	16	17	18	19	20
年数	2	4	5	6	2	1