山东省聊城市2021届高三数学三模试卷

试卷更新日期：2021-06-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1, 2}$ ， $B = {a, a^{2} + 3}$ ，若 $A \cap B = {1}$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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2. 已知 $a \in R$ ， $i$ 为虚数单位，若 $\frac{a - 3 i}{2 + 4 i}$ 为实数，则 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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3. 函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x} - e^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知直线 $l : (a - 1) x + y - 3 = 0$ ，圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 5$ ．则“ $a = - 1$ ”是“ $l$ 与 $C$ 相切”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 声强级 $L_{I}$ （单位：dB）由公式 $L_{I} = 10 \lg (\frac{I}{10^{- 12}})$ 给出，其中 $I$ 为声强（单位：W/m²）一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB，平时常人交谈时声强级约为60dB，那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（）

A、10⁴倍 B、10⁵倍 C、10⁶倍 D、10⁷倍

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6. 在某次脱贫攻坚表彰会上，共有36人受到表彰，其中男性多于女性，现从中随机选出2人作为代表上台领奖，若选出的两人性别相同的概率为 $\frac{1}{2}$ ，则受表彰人员中男性人数为（）

A、15 B、18 C、21 D、15或21

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7. 在 $△ A B C$ 中， $| A B | = 3$ ， $| A C | = 4$ ， $| B C | = 5$ ，M为BC中点，O为 $△ A B C$ 的内心，且 $\vec{A O} = λ \vec{A B} + μ \vec{A M}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{7}{12}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、1

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8. 已知A ， B ， C是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上的三点，直线AB经过原点O ， AC经过右焦点F ，若 $B F ⊥ A C$ ，且 $\vec{C F} = \frac{3}{2} \vec{F A}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{37}}{5}$

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二、多选题

9. 对具有相关关系的两个变量x和y进行回归分折时，经过随机抽样获得成对的样本点数据 $(x_{1}, y_{1}) (i = 1, 2, \dots, n)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若两变量x ， y具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点 B、若两变量x ， y具有线性相关关系，则回归直线一定经过样本点中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ C、若以模型 $y = a e^{b x}$ 拟合该组数据，为了求出回归方程，设 $z = \ln y$ ，将其变换后得到线性方程 $z = 6 x + \ln 3$ ，则a ， b的估计值分别是3和6． D、用 $R^{2} = 1 -$ $\frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y_{i}})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ 来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零实数的直线上，则 $R^{2}$ 的值为1

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10. 将函数 $y = \sin 2 x + \sqrt{3} \cos 2 x + 1$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下面对函数 $g (x)$ 的叙述中正确的是（）

A、函效 $g (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、函数 $g (x)$ 图象关于点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 对称 C、函数 $g (x)$ 在区间 $[\frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ 内单调递增 D、函数 $g (x)$ 图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称

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11. 已知实数a、b ，下列说法一定正确的是（）

A、若 $a < b$ ，则 ${(\frac{2}{7})}^{b} < {(\frac{2}{7})}^{a} < {(\frac{3}{7})}^{a}$ B、若 $b > a > 1$ ，则 $\log_{a b} a < \frac{1}{2}$ C、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + 2 b = 1$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为8 D、若 $b > a > 0$ ，则 $\frac{1 + a}{b^{2}} > \frac{1 + b}{a^{2}}$

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12. 已知等边三角形ABC的边长为6，M ， N分别为AB ， AC的中点，将 $△ A M N$ 沿MN折起至 $△ A^{'} M N$ ，在四棱锥 $A^{'} - M N C B$ 中，下列说法正确的是（）

A、直线MN∥平面 $A^{'} B C$ B、当四棱锥 $A^{'} - M N C B$ 体积最大时，二面角 $A^{'} - M N - B$ 为直二面角 C、在折起过程中存在某位置使BN⊥平面 $A^{'} N C$ D、当四棱 $A^{'} - M N C B$ 体积最大时，它的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 $39 π$

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三、填空题

13. 数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他写的《算盘全书》提出的，该数列的特点是：从第三起，每一项都等于它前面两项的和．在该数列的前2021项中，奇数的个数为．

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14. 曲线 $y = e^{x} + x^{2} - \frac{2}{3} x$ 在 $x = 0$ 处的切线的倾斜角为 $α$ ，则 $\sin (2 α + \frac{π}{2}) =$ ．

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15. 已知点 $A (0 ， 5)$ ，过抛物线 $x^{2} = 12 y$ ．上一点P作 $y = - 3$ 的垂线，垂足为B ，若 $| P B | = | P A |$ ，则 $| P B | =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = {(\frac{x}{e^{x}})}^{2} + (a - 2) \frac{x}{e^{x}} + 2 - a$ 有三个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，其中 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 ${(1 - \frac{x_{1}}{e^{x_{1}}})}^{2} (1 - \frac{x_{2}}{e^{x_{2}}}) (1 - \frac{x_{3}}{e^{x_{3}}})$ 的值为．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $10 \sin^{2} \frac{A + C}{2} = 7 - \cos 2 B$ ，

(1)、求角B的大小；

(2)、已知点D满足 $\vec{B D} = \frac{1}{4} \vec{B C}$ ，且 $A B > B D$ ，若 $S_{△ A B D} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ， $A D = \sqrt{7}$ ，求AC．

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18. 在① $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{21}$ 成等比数列② $S_{4} = 28$ ，③ $S_{n + 1} = S_{n} + a_{n} + 4$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并做出解答．
已知 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $S_{n}$ 为其n前项和， $a_{2} = 5$ ，_______， ${b_{n}}$ 是等比数列， $b_{2} = 9$ ， $b_{1} + b_{3} = 30$ ，公比 $q > 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的所有项分别构成集合A ， B ，将 $A \cup B$ 的元素按从小到大依次排列构成一个新数列 ${c_{n}}$ ，求 $T_{80} = c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{80}$ ．

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19. 如图，在平面四边形ABCD中， $B C = C D$ ， $B C ⊥ C D$ ， $A D ⊥ B D$ ，以BD为折痕把 $△ A B D$ 折起，使点A到达点P的位置，且 $P C ⊥ B C$ ．

(1)、证明： $P D ⊥ C D$ ；

(2)、若M为PB的中点，二面角 $P - B C - D$ 的大小为60°，求直线PC与平面MCD所成角的正弦值．

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20. 2021年3月5日李克强总即在政府作报告中特别指出：扎实做好碳达峰，碳中和各项工作，制定2030年前碳排放达峰行动方案，优化产业结构和能源结构．某环保机器制造商为响应号召，对一次购买2台机器的客户推出了两种超过机器保修期后5年内的延保维修方案：
方案一；交纳延保金5000元，在延保的5年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费1000元；

方案二：交纳延保金6230元，在延保的5和内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费t元；

制造商为制定的收取标准，为此搜集并整理了200台这种机器超过保修期后5年内维修的次数，统计得到下表

维修次数

0

1

2

3

机器台数

20

40

80

60

以这200台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示2台机器超过保修期后5年内共需维修的次数．

(1)、求X的分布列；

(2)、以所需延保金与维修费用之和的均值为决策依据，为使选择方案二对客户更合算，应把t定在什么范围？

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21. 已知圆 $F_{1} : {(x + 1)}^{2} + y^{2} = r^{2}$ ，圆 $F_{2} : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = {(4 - r)}^{2}$ ， $0 < r < 4$ ．当r变化时，圆 $F_{1}$ 与圆 $F_{2}$ 的交点P的轨迹为曲线C ，

(1)、求曲线C的方程；

(2)、已知点 $P (1, \frac{3}{2})$ ，过曲线C右焦点 $F_{2}$ 的直线交曲线C于A、B两点，与直线 $x = m$ 交于点D ，是否存在实数m ， $λ$ ，使得 $k_{P A} + k_{P B} = λ k_{P D}$ 成立，若存在，求出m ， $λ$ ；若不存在，请说明理由．

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22. 已知 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - x - 1$ ．

(1)、当 $a = \frac{e}{2}$ 时求 $f (x)$ 的极值点个数；

(2)、当 $x \in [0 ， + \infty)$ 时， $f (x) \geq 0$ ，求a的取值范围；

(3)、求证： $\frac{2}{2 e - 1} + \frac{2}{2 e^{2} - 1} + \dots + \frac{2}{2 e^{n} - 1} < \frac{3}{2}$ ，其中 $n \in N^{*}$ ．

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维修次数	0	1	2	3
机器台数	20	40	80	60