辽宁省葫芦岛市2021届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-10 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | x^{2} - 4 x \leq 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 2, 4]$ B、 $[- 2, 0]$ C、 $[0, 3]$ D、 $[- 4, 3]$

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2. 已知复数 $z = \frac{1 + 3 i}{1 - 2 i}$ ( $i$ 是虚数单位)，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 若两直线 $l_{1} : (a - 1) x - 3 y - 2 = 0$ 与 $l_{2} : x - (a + 1) y + 2 = 0$ 平行，则 $a$ 的值为（）

A、±2 B、2 C、-2 D、0

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4. 英国著名数学家布鲁克·泰勒(TaylorBrook)以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世.在数学中，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，并建立了如下指数函数公式： $e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = \frac{x^{0}}{0!} + \frac{x^{1}}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots \frac{x^{n}}{n!} + \dots$ 其中 $x \in R$ ， $x \in N$ ， $n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \cdot \cdot \cdot \times n$ ，特别地， $0! = 1$ .用上述公式估计 $e^{\frac{1}{4}}$ 的近似值.下列最适合的为（）(精确到0.01)

A、1.25 B、1.26 C、1.28 D、1.30

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5. 设 $a = {0.5}^{0.6}$ ， $b = \log_{0.5} 3$ ， $c = {0.6}^{0.5}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < b < a$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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6. 已知随机变量 $ξ$ 满足： $E (2 ξ - 1) = 3, D (2 ξ - 1) = 4$ ，则（）

A、 $E (ξ) = 2, D (ξ) = \frac{5}{4}$ B、 $E (ξ) = 1, D (ξ) = \frac{5}{4}$ C、 $E (ξ) = \frac{3}{2}, D (ξ) = 1$ D、 $E (ξ) = 2, D (ξ) = 1$

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7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，据书中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为五级：男､子､伯､侯､公.现有每个级别的诸侯各一人，共5人，要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分 $m$ 个( $m$ 为正整数)，若按这种方法分橘子，“子”恰好分得13个橘子的概率是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{5}$

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8. 在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 满足 $2 \vec{B P} = \vec{P C}$ ，过点 $P$ 的直线与 $A B$ ， $A C$ 所在的直线分别交于点 $M$ ， $N$ ，若 $\vec{A M} = x \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = y \vec{A C} (x > 0 ， y > 0)$ ，则 $2 x + y$ 的最小值为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{3}$

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二、多选题

9. 随着生活水平的不断提高，我国居民的平均身高也在增长.某市为了调查本市小学一年级男生身高情况，从某小学一年级随机抽取了100名同学进行身高测量，得到如下频率分布直方图，其中右侧三组小长方形面积成等差数列.则下列说法正确的是（）

A、身高在 $[130 ， 140]$ 范围内的频率为0.18 B、身高的众数的估计值为115 $cm$ C、身高的中位数的估计值为125 $cm$ D、身高的平均数的估计值为121.8 $cm$

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10. 将函数 $f (x) = \cos 2 x - \sin 2 x$ 的图象向左平移 $m$ 个单位后，所得图象关于 $y$ 轴对称，则实数 $m$ 的值可能为（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{3 π}{8}$ C、 $\frac{5 π}{8}$ D、 $\frac{7 π}{8}$

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11. 设函数 $f (x) = \frac{x + e^{| x |}}{x}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $f (x)$ 为奇函数 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(0 ， 1)$ 对称 C、 $f (x)$ 的最小值为 $e + 1$ D、若 $\frac{f (x)}{f (x) - 1} = k$ 有两个不等实根，则 $1 - \frac{1}{e} < k < 1 + \frac{1}{e}$ ，且 $k \neq 1$

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12. 在四面体 $A B C D$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A C ⊥ C D$ ，直线 $A B$ ， $C D$ 所成的角为60°， $A B = C D = 4 \sqrt{3}$ ， $A C = 4$ ，则四面体 $A B C D$ 的外接球表面积为（）

A、 $\frac{160 \sqrt{5}}{3} π$ B、52π C、80π D、208π

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三、填空题

13. 若 $\tan α = k$ ， $α$ 为钝角，则 $\sin α$ 的值为(用 $k$ 表示).

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14. 迎春杯数学竞赛后，甲､乙､丙､丁四名同学猜测他们之中谁能获奖.甲说：“如果我能获奖，那么乙也能获奖.”乙说：“如果我能获奖，那么丙也能获奖.”丙说：“如果丁没获奖，那么我也不能获奖.”实际上，他们之中只有一个人没有获奖，并且甲､乙､丙说的话都是正确的.那么没能获奖的同学是.

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15. 已知 $(3 x^{2} + 3 x - 2) {(x - 1)}^{5} = a_{0} + a_{1} x + \cdot \cdot \cdot + a_{7} x^{7}$ ，则 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} =$ .

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16. 已知抛物线 $G : x^{2} = 4 y$ ，过点 $P (2 \sqrt{3}, 2)$ 向抛物线 $G$ 作两条切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，则 $| A F | \cdot | B F | =$ .

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四、解答题

17. 设公比为整数的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{3} = 30$ ， $a_{2} - a_{1} = 4$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \log_{5} a_{n}$ ，记 $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{m - 1} S_{m} = b_{m} S_{m + 1} (m \geq 2)$ ，求 $m$ 的值.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a + b = 11$ ， $a > b$ .
再从条件①： $c = 7$ ， $\cos C = \frac{1}{2}$ ；条件②： $\cos A = \frac{1}{8} ， \sin B = \frac{5 \sqrt{7}}{16}$ .中选择一个作为已知补充到题中.求：

(1)、 $a$ 及 $\sin A$ 的值；，

(2)、 $△ A B C$ 的面积.

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19. 习近平总书记强调：要始终践行“绿水青山就是金山银山”发展理念.植树造林､保护森林，是每一位适龄公民应尽的法定义务.某地区园林局为响应国家号召，分别在

M

，

N

两块不同土质的土地上栽种A品种树苗各10000株.2年后，为了弄清楚树苗的成活情况与土质是否有关，分别在

M

，

N

两块土地上随机抽取树苗各100株，共计200株作为样本，其中树苗在

M

地块上成活95株，在

N

地块上成活85株.

(1)、完成

2 \times 2

列联表，并判断是否有95%的把握认为

A

品种树苗成活与两块地土质有关；

	$M$ 地块	$N$ 地块	总计
成活
未成活
总计

附： $K^{2} = \frac{n {(a b - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} \geq k)$	0.05	0.010	0.005
$k$	3.841	6.635	7.879

(2)、经过对

M

地块所抽取的样本数据统计研究发现，2年后成活的树苗的高度

X

(单位：

cm

)近似服从正态分布

N (185 ， 100)

，根据园林局技术部门提供指标，在同样种植条件下(土质情况除外)，若2年后树苗高度低于

165 cm

和不成活的总数量达到715株以上，则

M

地块不符合栽种标准，后期将不被用来栽种

A

品种树苗，试估计

M

地块是否符合栽种标准，并说明理由.

附：若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ + 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ .

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20. 如图所示多面体 $A B C D E F$ ，其底面 $A B C D$ 为矩形，且 $A B = 4 \sqrt{3}$ ， $B C = 4$ ，四边形 $B D E F$ 为平行四边形，点 $F$ 在底面 $A B C D$ 内的投影恰好是 $B C$ 的中点.

(1)、若 $M$ 为线段 $A E$ 的中点，证明：平面 $B D M //$ 平面 $C E F$ ；

(2)、若 $B F = \sqrt{13}$ ，求直线 $M F$ 与平面 $B F E D$ 所成角的正弦值.

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21. 已知椭圆 $G ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过 $A (0 ， 4)$ ， $B (\sqrt{5} ， - 2 \sqrt{3})$ 两点，直线 $l$ 交椭圆 $G$ 于 $M$ ， $N$ 两点.

(1)、求椭圆 $G$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 过点 $F$ ，是否存在常数 $t$ ，使得 $t \vec{O M} \cdot \vec{O N} + \vec{F M} \cdot \vec{F N}$ 为定值，若存在，求 $t$ 的值及定值；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1 + \ln x}{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \geq e$ 时，不等式 $f (x) \geq \frac{k}{x + e}$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、求证： $2 \times 7 \times \cdot \cdot \cdot \times (n^{2} - 2) > e^{2 n - 5}$ ( $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ).

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