江西省顶级名校2021届高三下学期理数三模试卷

试卷更新日期：2021-06-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 定义：若复数 $z$ 与 $z^{'}$ 满足 $z z^{'} = 1$ ，则称这两个复数互为倒数.已知复数 $z = - 2 i (4 - i)$ ，则该复数的倒数为（）

A、 $- \frac{1}{34} + \frac{2}{17} i$ B、 $- \frac{1}{34} - \frac{2}{17} i$ C、 $\frac{1}{34} + \frac{2}{17} i$ D、 $\frac{1}{34} - \frac{2}{17} i$

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2. 已知集合 $A = {x | y = \log_{2} (x + 1)}$ ， $B = {x | \frac{2 + x}{x - 3} \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0 ， 1 ， 2}$ B、 $(- 1 ， 3)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 ${0 ， 2 ， 3}$

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3. 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上随机地取一个数 $x$ ，则事件“ $\cos x \geq \frac{1}{2}$ ”发生的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 设 $f (x) = {\begin{array}{l} - x + 1 ， x \leq 0 \\ - x^{2} - 1 ， x > 0 \end{array}$ ， $a = {0.7}^{- 0.5}$ ， $b = \log_{0.5} 0.7$ ， $c = \log_{0.7} 5$ ，则（）

A、 $f (a) > f (b) > f (c)$ B、 $f (b) > f (a) > f (c)$ C、 $f (c) > f (a) > f (b)$ D、 $f (c) > f (b) > f (a)$

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5. 已知等比数列 ${a_{n}}$ ，满足 $\log_{2} a_{3} + \log_{2} a_{10} = 1$ ，且 $a_{3} a_{6} a_{8} a_{11} = 16$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的公比为（）

A、4 B、2 C、 $\pm 2$ D、 $\pm 4$

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6. 设α、β为两个不重合的平面，能使α//β成立的是（）

A、α内有无数条直线与β平行 B、α内有两条相交直线与β平行 C、α内有无数个点到β的距离相等 D、α、β垂直于同一平面

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7. 双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，过右焦点 $F$ 作 $x$ 轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为 $A$ ，若 $Δ O A F$ 的面积是 $2 \sqrt{5} (O$ 为原点），则双曲线 $E$ 的实轴长是 $($ 　　 $)$

A、4 B、 $2 \sqrt{2}$ C、1 D、2

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8. 已知函数 $f (x)$ 的图象关于原点对称，且满足 $f (x + 1) + f (3 - x) = 0$ ，且当 $x \in (2 ， 4)$ 时， $f (x) = - \log_{\frac{1}{2}} (x - 1) + m$ ，若 $\frac{f (2021) - 1}{2} = f (- 1)$ ，则 $m =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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9. 数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比 $m = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的近似值,黄金分割比还可以表示成 $2 \sin 18 °$ ,则 $\frac{m \sqrt{4 - m^{2}}}{2 \cos^{2} 27 ° - 1} =$ （） .

A、4 B、 $\sqrt{5} + 1$ C、2 D、 $\sqrt{5} - 1$

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10. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，若点 $F_{2}$ 关于双曲线渐近线的对称点 $A$ 满足 $∠ F_{1} A O = ∠ A O F_{1}$ （ $O$ 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm 2 x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、 $y = \pm x$

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11. 长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 1$ ， $B B_{1} = \sqrt{2}$ ，设点 $A$ 关于直线 $B D_{1}$ 的对称点为 $P$ ，则 $P$ 与 $C_{1}$ 两点之间的距离为

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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12. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $a_{3} = 4$ ， $T_{6} = 27$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n + 1} = b_{1} + b_{2} + b_{3}$ $+ \cdot \cdot \cdot + b_{n}$ ， $b_{1} = b_{2} = 1$ ，设 $c_{n} = a_{n} + b_{n}$ ，则数列 ${c_{n}}$ 的前11项和为

A、1062 B、2124 C、1101 D、1100

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二、填空题

13. 设平面向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, y)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} + 3 \vec{b} | =$ .

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14. 若二项式 ${(\frac{\sqrt{5}}{5} x^{2} + \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为 $m$ ，则 $\int_{1}^{m} x^{2} d x =$ ．

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15. 已知圆C的方程为 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，P是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值是

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16. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x + 6 ， x \leq 2 \\ 3 + \log_{a} x ， x > 2 \end{array}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的值域是 $[4 ， + \infty)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知锐角 $△ A B C$ ，同时满足下列四个条件中的三个：
① $A = \frac{π}{3}$ ② $a = 13$ ③ $c = 15$ ④ $\sin C = \frac{1}{3}$

(1)、请指出这三个条件，并说明理由；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D // B C$ ， $∠ A D C = 90^{\circ}$ ，平面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $Q$ 为 $A D$ 的中点， $M$ 是棱 $P C$ 上的点， $P A = P D = 2$ ， $B C = \frac{1}{2} A D = 1$ ， $C D = \sqrt{3}$ .

(1)、求证：平面 $M Q B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $B M ⊥ P C$ ，求直线 $A P$ 与 $B M$ 所成角的余弦值；

(3)、若二面角 $M - B Q - C$ 大小为 $60^{\circ}$ ，求 $Q M$ 的长.

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19. 为培养学生对传统文化的热爱，某校从理科班抽取60人，从文科班抽取50人参加传统文化知识竞赛.

(1)、根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为传统文化知识竞赛成绩与学生的文理分科有关.

	优秀人数	非优秀人数	总计
理科
文科		30
总计	60

(2)、现已知A ， B ， C三人获得优秀的概率分别为，

\frac{1}{2}

，

\frac{1}{3}

，

\frac{1}{3}

，设随机变量X表示A ， B ， C三人中获得优秀的人数，求X的分布列及期望

E (X)

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

P（K²≥k₀）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k₀	2.706	3.814	5.024	6.635	7.879

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，过焦点 $F_{2}$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆 $C$ 相交所得的弦长为 $1$ ，椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、点 $P$ 是椭圆 $C$ 上位于 $x$ 轴上方的动点，若直线 $F_{1} P$ 和 $F_{2} P$ 与直线 $y = 3$ 分别交于 $G$ 和 $H$ 两点，设直线 $F_{1} P$ 和 $F_{2} P$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ ，若线段 $G H$ 的长度小于 $10 \sqrt{3}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的最大值.

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21. 若方程 $f (x) = x$ 有实数根 $x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为函数 $f (x)$ 的一个不动点，已知函数 $f (x) = e^{x - \ln x} + (a + 1) x - a \ln x$ .

(1)、若 $a = - e$ ，求证： $f (x)$ 有唯一不动点；

(2)、若 $f (x)$ 有两个不动点，求实数a的取值范围.

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22. 已知椭圆 $C ： {\begin{matrix} x = 2 \cos φ \\ y = \sin φ \end{matrix}$ ( $φ$ 是参数)，A和B是C上的动点，且满足 $O A ⊥ O B$ (O是坐标原点)，以O为极点､以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点D的极坐标为 $(- 4 ， \frac{π}{3})$ .

(1)、求线段AD的中点M的轨迹E的普通方程；

(2)、利用椭圆C的极坐标方程证明 $\frac{1}{{| O A |}^{2}} + \frac{1}{{| O B |}^{2}}$ 为定值，并求 $△ A O B$ 面积的最大值.

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23. 设函数 $f (x) = | 2 x + 1 | - | x - 4 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) > 0$ ；

(2)、若 $f (x) + 3 | x - 4 | > | m - 2 |$ 对一切实数 $x$ 均成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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