江苏省徐州市2021届高三下学期数学5月四模试卷

试卷更新日期：2021-06-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 6 < 0}$ ， $B = {x | \log_{2} (x - 2) < 1}$ ， $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、（－2，3） B、（2，3） C、[3，4） D、（－∞，2]∪[3，＋∞）

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2. 若纯虚数 $z$ 满足 $(z + m) i = 2 - i$ (其中 $i$ 为虚数单位， $m$ 为实数)，则 $m =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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3. 二项式 ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{5}$ 展开式中， $x^{4}$ 的系数是（）

A、40 B、10 C、-40 D、 $- 10$

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4. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x ， 0 < x \leq 1 \\ 2 f (x - 1), x > 1 \end{array}$ 则 $f (\frac{7}{2}) =$ （）

A、 $- 16 \ln 2$ B、 $16 \ln 2$ C、 $- 8 \ln 2$ D、 $- 32 \ln 2$

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5. 已知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 均为单位向量，若 $\vec{b} ⊥ (2 \vec{a} + \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、30° B、45° C、60° D、120°

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6. 函数 $y = x^{2} \sin π x$ 的大致图象为（）

A、
B、

C、 D、

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7. 对于数据组 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, ..., n)$ ，如果由线性回归方程得到的对应于自变量 $x_{i}$ 的估计值是 ${\hat{y}}_{i}$ ，那么将 $y_{i} - {\hat{y}}_{i}$ 称为相应于点 $(x_{n}, y_{i})$ 的残差．某工厂为研究某种产品产量 $x$ （吨）与所需某种原材料 $y$ 吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据 $(x, y)$ 如下表所示：

x

3

4

5

6

y

2.5

3

4

$m$

根据表中数据，得出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 0.7 x + a$ ，据此计算出样本处的残差为－0.15，则表中 $m$ 的值为（）

A、3.3 B、4.5 C、5 D、5.5

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8. 已知 $F$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左焦点，圆 $O ： x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 与双曲线在第一象限的交点为 $P$ ，若 $P F$ 的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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二、多选题

9. 已知 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面， $m$ ， $n$ ， $l$ 是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m$ ∥ $n$ B、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $α \cap β = l$ ， $m$ ∥ $α$ ， $m$ ∥ $β$ ，则 $m$ ∥ $l$ D、若 $α \cap β = l$ ， $m \subset α$ ， $m ⊥ l$ ，则 $m ⊥ β$

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10. 已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩 $X$ 近似服从正态分布 $N (100 ， 225)$ ，则下列说法正确的有（）
（参考数据：① $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6827$ ；

② $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ；

③ $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ ）

A、这次考试成绩超过100分的约有500人 B、这次考试分数低于70分的约有27人 C、 $P (115 < X \leq 130) = 0.0514$ D、从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为 $\frac{1}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 与 $g (x) = \cos (2 x + \frac{π}{4})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $g (x)$ 的图象可由 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度得到 B、 $f (x)$ 的图象与 $g (x)$ 的图象相邻的两个交点间的距离为 $\frac{π}{2}$ C、 $f (x) + g (x)$ 图象的一条对称轴为 $x = \frac{π}{2}$ D、 $f (x) \cdot g (x)$ 在区间 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ 上单调递增

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12. 数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线 $C ： x^{2} + y^{2} = 1 + | x | y$ 就是其中之一（如图）．给出下列四个结论，其中正确结论是（）

A、图形关于 $y$ 轴对称 B、曲线 $C$ 恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点） C、曲线 $C$ 上存在到原点的距离超过 $\sqrt{2}$ 的点 D、曲线 $C$ 所围成的“心形”区域的面积大于3

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三、填空题

13. 已知 $\tan (α + β) = 2$ ， $\tan (α - β) = \frac{1}{2}$ ， $β \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\tan β$ 的值为.

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14. 已知抛物线C的焦点为F，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，若 $\frac{1}{| A F |} + \frac{1}{| B F |} = 2$ ，则符合条件的抛物线C的一个方程为.

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15. 若数列 ${a_{n}}$ 对任意正整数 $n$ ，有 $a_{n + m} = a_{n} q$ (其中 $m \in N^{*}$ ， $q$ 为常数， $q \neq 0$ 且 $q \neq 1$ )，则称数列 ${a_{n}}$ 是以 $m$ 为周期，以 $q$ 为周期公比的类周期性等比数列.已知类周期性等比数列 ${b_{n}}$ 的前4项为1，1，2，3，周期为4，周期公比为3，则数列 ${b_{n}}$ 前21项的和为.

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16. 已知球的直径 $A B = 4$ ， $C$ ， $D$ 是球面上的两点，且 $C D = 2$ ，若 $∠ A B C = ∠ A B D$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 的体积的最大值是.

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四、解答题

17. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A C = 14$ ， $\cos ∠ B A C = \frac{5}{7}$ ，内角 $B$ 与 $D$ 互补，若 $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，求 $C D$ 的长.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n} + S_{n} = 1$ ， $n \in N^{*}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = - \log_{2} a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{a_{n + 2} b_{n + 2}}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{4}$ .

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19. 天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中

a \in [0 ， 1.3]

．

星名	天狼星	老人星	南门二	大角星	织女一	五车二	参宿七	南河三	水委一	参宿四
视星等	－1.47	－0.72	－0.27	－0.04	0.03	0.08	0.12	0.38	0.46	a
绝对星等	1.42	－5.53	4.4	－0.38	0.6	0.1	－6.98	2.67	－2.78	－5.85
赤纬	－16.7°	－52.7°	－60.8°	19.2°	38.8°	46°	－8.2°	5.2°	－57.2°	7.4°

(1)、从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；

(2)、已知徐州的纬度是北纬34°，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于－56°时，能在徐州的夜空中看到它．现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在徐州的夜空中看到的数量为

X

颗，求

X

的分布列和数学期望；

(3)、记

a = 0

时10颗恒星的视星等的方差为

S_{1}^{2}

，记

a = 1.3

时10颗恒星的视星等的方差为

S_{2}^{2}

，直接写出

S_{1}^{2}

与

S_{2}^{2}

之间的大小关系．

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20. 如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ 是 $D D_{1}$ 的中点.设平面 $A B B_{1} A_{1}$ 与平面 $A_{1} C E$ 的交线为l.

(1)、求证： $l / /$ 平面 $A C E$ ；

(2)、求二面角 $B - C A_{1} - E$ 的大小.

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的四个顶点围成的四边形的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，且 $| F_{1} F_{2} | = 2$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点， $△ A B F_{1}$ 的内切圆 $C$ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线 $l$ 的方程，若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{a}{2} (x^{2} - 1) + \frac{1}{x} (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 的过原点的切线方程；

(2)、当 $x > 1$ 时， $f (x) < \frac{1}{e^{x - 1}}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	$m$