江苏省常州市2021届高三下学期数学一模试卷

试卷更新日期：2021-06-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $R$ 为全集，集合 $A = {x | - 2 < x < 2}$ ， $B = {x | x < 3}$ ，则 $(C_{R} A) \cap B =$ （）

A、 ${x | 2 < x < 3}$ B、 ${x | 2 \leq x < 3}$ C、 ${x | x < 0 或 2 \leq x < 3}$ D、 ${x | x \leq - 2 或 2 \leq x < 3}$

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2. 设 $a ， b \in R$ ，则“ $| a + b i | = | 1 + i |$ ”是“ $a = b = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知平面向量 $\vec{m} = (3 - x, 1)$ ， $\vec{n} = (x, 4)$ ，且 $\vec{m} // \vec{n}$ ，则下列正确的是（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = - 1$ 或4 C、 $x = \frac{12}{5}$ D、 $x = 4$

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4. 已知 $a = \log_{7} 0.3, b = {0.7}^{0.3}, c = 7^{0.3}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < a < b$ D、 $b < c < a$

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5. 过圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 5$ 外一点 $P (2 ， \sqrt{5})$ 作圆 $O$ 的切线，切点分别为 $A$ 、 $B$ ，则 $| A B | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{4 \sqrt{5}}{3}$ D、3

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6. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x$ ，为了得到函数 $g (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只需（）

A、先将函数 $f (x)$ 图象上点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 B、先将函数 $f (x)$ 图象上点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、先将函数 $f (x)$ 图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ D、先将函数 $f (x)$ 图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，再将点的横坐标变为原来的2倍

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7. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，动点 $P$ 到直线 $A D$ 的距离与到平面 $B B_{1} C_{1} C$ 的距离相等，则 $P$ 在平面 $C C_{1} D_{1} D$ 上的轨迹是（）

A、线段 B、椭圆一部分 C、抛物线一部分 D、双曲线一部分

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8. 算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具．“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、……，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现从个位、十位、百位和千位这四组中随机拨动2粒珠（上珠只能往下拨且每位至多拨1粒上珠，下珠只能往上拨），则算盘表示的整数能够被3整除的概率是（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{1}{2}$

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二、多选题

9. 已知 $P$ 为 $△ A B C$ 所在平面内一点，则下列正确的是（）

A、若 $\vec{P A} + 3 \vec{P B} + 2 \vec{P C} = \vec{0}$ ，则点 $P$ 在 $△ A B C$ 的中位线上 B、若 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ，则 $P$ 为 $△ A B C$ 的重心 C、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 D、若 $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ A B P$ 的面积比为 $3 ： 2$

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10. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} x + \cos x (x > 0)$ 的所有极值点从小到大排列成数列 ${a_{n}}$ ，设 $S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则下列结论中正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 为等差数列 B、 $a_{4} = \frac{17 π}{6}$ C、 $\sin S_{2021} = \frac{1}{2}$ D、 $\tan (a_{3} + a_{7}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{\cos x}{e^{x} + \sin x}$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递减 B、 $x \in (\frac{π}{2} ， π)$ 时， $f (x) < 0$ 恒成立 C、 $(- \frac{π}{2} ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 的一个单调递减区间 D、 $x = - π$ 是函数 $f (x)$ 的一个极小值点

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12. 已知曲线 $C$ 上的点 $P (x ， y)$ 满足方程 $x | x - 1 | + y | y - 1 | = 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、当 $x \in [- 1 ， 2]$ 时，曲线 $C$ 的长度为 $2 \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} π}{2}$ B、当 $x \in [- 1 ， 2]$ 时， $\frac{y - 1}{x + 2}$ 的最大值为1，最小值为 $- \frac{1}{2}$ C、曲线 $C$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴所围成的封闭图形的面积和为 $\frac{π}{4} - \frac{1}{2}$ D、若平行于 $x$ 轴的直线与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个不同的点，其横坐标分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围是 $(2 ， \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})$

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三、填空题

13. 已知一组数据 $- 3, 2 a, 4, 5 - a, 1, 9$ 的平均数为3（其中 $a \in R$ ），则中位数为．

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14. ${(x^{2} + \frac{2}{x})}^{3}$ 展开式中的常数项为．

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15. 已知 $△ A B C$ 为等边三角形， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ，三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为 $4 π$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 体积的最大值是．

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16. 已知函数 $f (x) = x e^{2 x} - e$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，则 $f^{'} (0) =$ ；若 $\ln x_{0} + 2 x_{0} = 3$ ，则 $f (x_{0}) =$ ．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = \frac{1}{4}$ ， $a_{n + 1} = \frac{3}{2} a_{n} - 1$ ．

(1)、求证数列 ${a_{n} - 2}$ 是等比数列；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 2^{n + 2} \cdot a_{n}$ ，求 $b_{n}$ 的最大值．

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $2 \sin B + b \cos A = b$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $\sin C = 2 \sin B$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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19. 在矩形ABCD中，BC=2AB=2，取BC边上一点M ，将△ABM沿着AM折起，如图所示形成四棱锥S- AMCD.

(1)、若M为BC的中点，二面角S-AM-B的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求AS与平面ABCD所成角的正弦值；

(2)、若将△ABM沿着AM折起后使得SD⊥AM ，求线段MC的长.

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20. 调查某种新型作物A在某地的耕种状况与农民收入的关系，现在当地农户中随机选取了300户农民进行了统计，发现当年收入水平提高的农户占

\frac{13}{15}

，而当年选择耕种A作物的农户占

\frac{2}{3}

，既选择A作物又收入提高的农户为180户．

(1)、完成下面

2 \times 2

列联表，并分析是否有97.5%的把握认为种植A作物与收入提高有关；

	种植A作物的数量	未种植A作物的数量	合计
收入提高的数量
收入未提高的数量
合计

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．

P（K²≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(2)、某农户决定在一个大棚内交替种植

A ， B ， C

三种作物，为了保持土壤肥度，每种作物都不连续种植．开始时选择A作物种植，后因习惯，在每次种植

A

后会有

\frac{1}{3}

的可能性种植

B

，

\frac{2}{3}

的可能性种植C；在每次种植

B

的前提下再种植

A

的概率为

\frac{1}{4}

，种植

C

的概率为

\frac{3}{4}

；在每次种植C的前提下再种植

A

的概率为

\frac{2}{5}

，种植

B

的概率为

\frac{3}{5}

．若仅种植三次，求种植A作物次数

X

的分布列及期望．

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21. 已知F₁ ， F₂是椭圆E₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a>b>0）的左、右焦点，曲线E₂： y²=4x的焦点恰好也是F₂ ， O为坐标原点，过椭圆E₁的左焦点F₁作与x轴垂直的直线交椭圆于M ， N ，且△MNF₂的面积为3.

(1)、求椭圆E₁的方程；

(2)、过F₂作直线l交E₁于A ， B ，交E₂于C ， D ，且△ABF₁与△OCD的面积相等，求直线l的斜率.

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22. 已知函数 $f (x) = a x + \ln x + 1$ ．

(1)、 $a = - 1$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、若 $f (x) - f' (x) \leq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值集合；

(3)、令 $F (x) = f (x) - a x - 1$ ，过点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 做曲线 $y = F (x)$ 的两条切线，若两切点横坐标互为倒数，求证点 $P$ 一定在第一象限内．

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