河北省沧州市2021届高三数学三模试卷

试卷更新日期：2021-06-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x \leq 0}$ ， $B = {x | 1 < x \leq 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 2]$ B、 $(1, 2)$ C、 $[0, 2]$ D、 $(0, 1)$

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2. 设复数 $z$ 满足 $z (2 + i) = 2 - i$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 生物入侵指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为 $Q$ ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔 $T$ 为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型 $K (n) = λ \ln n$ 来描述该物种累计繁殖数量 $n$ 与入侵时间 $K$ （单位：天）之间的对应关系，且 $Q = \frac{T}{λ} + 1$ ，在物种入侵初期，基于现有数据得出 $Q = 9$ ， $T = 80$ .据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为（ $\ln 2 \approx 0.69$ ， $\ln 3 \approx 1.10$ ）（）

A、6.9天 B、11.0天 C、13.8天 D、22.0天

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4. 已知非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = \sqrt{2} | \vec{a} |$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ (3 \vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、45° B、135° C、60° D、120°

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5. 把函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数 $f (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3}) + 1$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6} ， \frac{5 π}{12}]$ 上单调递减

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6. 已知函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x} - x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $(0 ， 1)$ B、 $f (x)$ 的极小值点为1 C、 $f (x)$ 的极大值为-1 D、 $f (x)$ 的最小值为-1

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7. 已知 ${(2 - x)}^{2021} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \dots + a_{2021} {(x + 1)}^{2021}$ ，则 $| a_{0} | + | a_{1} | + | a_{2} | + \dots + | a_{2021} | =$ （）

A、 $2^{4042}$ B、1 C、 $2^{2021}$ D、0

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8. 已知正四棱锥 $P - A B C D$ 的所有棱长均为 $2 \sqrt{2}$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $P C$ ， $A B$ 的中点， $M$ 为棱 $P B$ 上异于 $P$ ， $B$ 的一动点，现有以下结论：
①线段 $E F$ 的长度是 $2 \sqrt{2}$ ；

② $△ E M F$ 周长的最小值为 $\sqrt{6} + 2 \sqrt{2}$ ；

③存在点 $M$ 使得 $P B ⊥$ 平面 $M E F$ ；

④ $∠ E M F$ 始终是钝角.

其中不正确的结论共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、多选题

9. 家庭开支是指一般生活开支的人均细分．如图所示的是2017年和2020年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图，其中房贷每年的还款数额相同．

根据以上信息，判断下列结论中不正确的是（）

A、小王一家2020年的家庭收入比2017年増加了1倍 B、小王一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的2倍 C、小王一家2020年用于饮食的支出费用相比2017年明显增加 D、小王一家2020年用于娛乐的费用比2017年增加了7%

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10. 三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长 $2 cm$ ，外径长 $3 cm$ ，筒高 $4 cm$ ，中部为棱长是 $3 cm$ 的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则（）

A、该玉琮的体积为 $18 + \frac{3 π}{4}$ ( ${cm}^{3}$ ) B、该玉琮的体积为 $27 - \frac{7 π}{4}$ ( ${cm}^{3}$ ) C、该玉琮的表面积为 $54 + π$ ( ${cm}^{2}$ ) D、该玉琮的表面积为 $54 + 9 π$ ( ${cm}^{2}$ )

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11. 已知点 $P (2 ， 4)$ ，若过点 $Q (4 ， 0)$ 的直线 $l$ 交圆 $C$ ： ${(x - 6)}^{2} + y^{2} = 9$ 于 $A$ ， $B$ 两点， $R$ 是圆 $C$ 上一动点，则（）

A、 $| A B |$ 的最小值为 $2 \sqrt{5}$ B、 $P$ 到 $l$ 的距离的最大值为 $2 \sqrt{5}$ C、 $\vec{P Q} \cdot \vec{P R}$ 的最小值为 $12 - 2 \sqrt{5}$ D、 $| P R |$ 的最大值为 $4 \sqrt{2} + 3$

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12. 已知斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ ( $p > 0$ )的焦点，且与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，抛物线 $C$ 的准线上一点 $M (- 1, - 1)$ ，满足 $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = 0$ ，则（）

A、 $p = 2$ B、 $k = - 2$ C、 $| A B | = \sqrt{5}$ D、 $△ M A B$ 的面积为 $\frac{5 \sqrt{5}}{2}$

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三、填空题

13. 设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{4} = 2 S_{3} - 2$ ， $2 a_{5} - a_{6} = 7$ ，则 $S_{8} =$ .

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14. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，对任意 $x \in R$ ， $f (x + 2) = 3 f (x)$ 恒成立，且当 $x \in (0, 2]$ 时， $f (x) = 2^{x}$ ，则 $f (7) =$ .

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15. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是古代中国劳动人民的智慧结晶.它是由一块正方形，一块平行四边形和五块等腰直角三角形组成的，可拼成1600种以上的图形.如图所示的是一个用七巧板拼成的大正方形飞镖靶盘（靶盘各块上标有分值），现向靶盘随机投镖两次，每次都没脱靶（不考虑区域边界），则两次投中分值之和为2的概率为.

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16. 已知双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，其一条渐近线的方程为 $\sqrt{5} x - 2 y = 0$ ，点 $P$ 为双曲线 $C_{1}$ 与圆 $C_{2} : {(x + 3)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的一个交点，若 $| P F | = 4$ ，则双曲线 $C_{1}$ 的离心率为； $r =$ .

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四、解答题

17. 在① $\frac{2 c - b}{a} = \frac{\cos B}{\cos A}$ ，② $2 a \cos C + c = 2 b$ ，③ $a \sin A \cos C + \frac{1}{2} c \sin 2 A = \sqrt{3} b \cos A$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题.
问题：锐角 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且___________.

(1)、求 $A$ ；

(2)、求 $\cos B + \cos C$ 的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $a_{n + 1} = S_{n} + 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、记 $b_{n} = \frac{S_{n + 1} - S_{n}}{S_{n} S_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 2021年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利.为了巩固拓展脱贫攻坚成果，不断提高群众的幸福感，某县继续推进山羊养殖项目.为了建设相应的配套项目，该县主管部门对该县近年来山羊养殖业的规模进行了跟踪调查，得到了该县每年售卖山羊数量

y

（单位：万只）与相应年份代码

x

的数据如下表：

年份	2015	2016	2017	2018	2019	2020
年份代码 $x$	1	2	3	4	5	6
售卖山羊数量 $y$ （万只）	11	13	16	15	20	21

(1)、由表可知

y

与

x

有较强的线性相关关系，求

y

关于

x

的线性回归方程；

(2)、已知该县养殖的山羊品种只有甲、乙两种，且甲品种山羊与乙品种山羊的数量之比为

2 : 3

，甲品种山羊达到售卖标准后的出售价为2500元/只，乙品种山羊达到售卖标准后的出售价为2700元/只.为了解养殖山羊所需要的时间，该县主管部门随机抽取了甲品种山羊和乙品种山羊各100只进行调查，得到要达到售卖标准所需的养殖时间如下表：

养殖时间（月数）	6	7	8	9
甲品种山羊（只）	20	35	35	10
乙品种山羊（只）	10	30	40	20

以上述样本统计的养殖山羊所需时间情况估计全县养殖山羊所需时间（即以各养殖时间的频率作为各养殖时间的概率），且每月每只山羊的养殖成本为300元，结合（1）中所求回归方程，试求2022年该县养殖山羊所获利润的期望（假设山羊达到售卖标准后全部及时卖完）.（利润=卖山羊的收入一山羊的养殖成本）

参考公式及数据：回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，其中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \overset{⌢}{b} \bar{x}$ .

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20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = 1$ ， $∠ A C B = 120 °$ ， $A A_{1} = A_{1} B = 2$ ， $∠ A_{1} A C = 60 °$ .

(1)、证明：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ；

(2)、若 $\vec{C P} = \frac{1}{3} \vec{C C_{1}}$ ，求二面角 $P - A_{1} B - A$ 的余弦值.

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21. 已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，椭圆上的点离右焦点 $F$ 的最短距离为1.

(1)、求椭圆 $E$ 的方程.

(2)、直线 $l$ （斜率不为0）经过 $F$ 点，与椭圆 $E$ 交于 $A, B$ 两点，问 $x$ 轴上是否存在一定点 $P$ ，使得 $\frac{| P A |}{| P B |} = \frac{| A F |}{| B F |}$ ？若存在，求出 $P$ 点的坐标；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - 2 a x + a$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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