河北省2021届高三下学期数学仿真模拟（四）试卷

试卷更新日期：2021-06-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集为 $R$ ， $M = {x | f (x) \neq 0}$ ， $N = {x | g (x) \neq 0}$ ，那么集合 ${x | f (x) g (x) = 0}$ 等于（）

A、 $(∁_{R} M) \cap (∁_{R} N)$ B、 $(∁_{R} M) \cup N$ C、 $M \cup (∁_{R} N)$ D、 $(∁_{R} M) \cup (∁_{R} N)$

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2. 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道.若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.则你走出迷宫的时间超过3小时的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{6}$

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3. 若 ${(2 x + \sqrt{3})}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ ，则 ${(a_{0} + a_{2} + a_{4})}^{2} - {(a_{1} + a_{3})}^{2}$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、0 D、2

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4. 设 $P, Q$ 分别为圆 $x^{2} + {(y - 6)}^{2} = 2$ 和椭圆 $\frac{x^{2}}{10} + y^{2} = 1$ 上的点,则 $P, Q$ 两点间的最大距离是（）

A、 $5 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{46} + \sqrt{2}$ C、 $7 + \sqrt{2}$ D、 $6 \sqrt{2}$

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5. 已知 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} | \neq 0$ ，且关于 $x$ 的方程 $x^{2} + | \vec{a} | x + \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ 有实根，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{π}{6}]$ B、 $[\frac{π}{3} ， π]$ C、 $[\frac{π}{3} ， \frac{2}{3} π]$ D、 $[\frac{π}{6} ， π]$

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6. 在体育合格考中有甲、乙两科目，成绩评定为“优秀”、“合格”、“不合格”三种.若 $A$ 同学每科成绩不低于 $B$ 同学，且至少有一科成绩比 $B$ 高，则称“ $A$ 同学比 $B$ 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人甲科目成绩一样，乙科目成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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7. 已知抛物线 $y = - x^{2} + 3$ 上存在关于直线 $x + y = 0$ 对称的相异两点 $A$ 、 $B$ ，则 $| A B |$ 等于（　　）

A、3 B、4 C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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8. 把函数的图像 $C_{1}$ 向右平移 $u$ 个单位长度，再向下平移 $v$ 个单位长度后得到图像 $C_{2}$ ．若对任意的 $u > 0$ ，曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 至多只有一个交点，则 $v$ 的最小值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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二、多选题

9. 若直线 $l$ 与曲线 $C$ 满足下列两个条件：①直线 $l$ 在点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 处与曲线 $C$ 相切；②曲线 $C$ 在点 $P$ 附近位于直线 $l$ 的两侧，则称直线 $l$ 在点 $P$ 处“切过”曲线 $C$ .则下列结论正确的是（）

A、直线 $l ： y = 0$ 在点 $P (0 ， 0)$ 处“切过”曲线 $C ： y = x^{3}$ B、直线 $l ： y = x - 1$ 在点 $P (1 ， 0)$ 处“切过”曲线 $C ： y = \ln x$ C、直线 $l ： y = x$ 在点 $P (0 ， 0)$ 处“切过”曲线 $C ： y = \sin x$ D、直线 $l ： y = x$ 在点 $P (0 ， 0)$ 处“切过”曲线 $C ： y = \tan x$

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10. 已知不相等的复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $z^{2} < 0$ ，则 $z$ 是纯虚数 B、若 $| z_{1} | = | z_{2} |$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ C、若 $z_{1} = {\bar{z}}_{_{2}}$ ，则 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面内对应的点关于实轴对称 D、若 $z_{1}^{2} - z_{2}^{2} > 0$ ，则 $z_{1}^{2} > z_{2}^{2}$

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11. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $E$ 为 $D C$ 的中点， $F$ 为线段 $E C$ (端点除外)上一动点.现将 $△ A F D$ 沿 $A F$ 折起，使平面 $A B D ⊥$ 平面 $A B C$ .在平面 $A B D$ 内过点 $D$ 作 $D K ⊥ A B$ ， $K$ 为垂足.设 $A K = k$ ，则 $k$ 的取值可以是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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12. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) - f (- x) = 2 \sin x$ ，且当 $x ⩾ 0$ 时， $f^{'} (x) > 1$ .若 $f (t) - f (\frac{π}{2} - t) ⩽ \sin t - \cos t$ ，则实数 $t$ 的取值可能是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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三、填空题

13. 如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上下底面的半径分别为3和4，圆台的高为7，则该球的表面积为.

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14. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，若对于 $x \geq 0$ ，都有 $f (x + 2) = - \frac{1}{f (x)}$ ，且当 $x \in (0, 2)$ 时， $f (x) = \log_{2} (x + 1)$ ，则 $f (- 2019) + f (2021)$ 的值为.

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15. 已知△ABC的顶点坐标分别为 $A (3, 4), B (6, 0), C (- 5, - 2)$ ，则内角 $A$ 的角平分线所在直线方程为.

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16. 有两个分类变量

x

和

y

，其中一组观测值为如下的2×2列联表：

	$y_{1}$	$y_{2}$	总计
$x_{1}$	$a$	$15 - a$	15
$x_{2}$	$20 - a$	$30 + a$	50
总计	20	45	65

其中 $a$ ， $15 - a$ 均为大于5的整数，则 $a =$ 时，在犯错误的概率不超过 $0.01$ 的前提下为“ $x$ 和 $y$ 之间有关系”.附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

P（K²≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足： $S_{n} = 2 a_{n} + {(- 1)}^{n}$ ， $n \geq 1$ .

(1)、出求数列 ${a_{n}}$ 的前3项 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

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18. 设 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边长分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a \cos B - b \cos A = \frac{3}{5} c$ ．
（Ⅰ）求 $\frac{\tan A}{\tan B}$ 的值；

（Ⅱ）求 $\tan (A - B)$ 的最大值．

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19. 圆柱 $O O_{1}$ 内有一个三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 $A B$ 是圆 $O$ 的直径.

(1)、证明：平面 $A_{1} A C C_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；

(2)、设 $A B = A A_{1}$ .记 $p = \frac{V_{三棱柱 A B C - A_{1} B_{1} C_{1}}}{V_{圆柱 O O_{1}}}$ ，其中 $V$ 表示体积.
（i）当点 $C$ 在圆周上运动时，求 $p$ 的最大值；

（ii）记平面 $A_{1} A C C_{1}$ 与平面 $B_{1} O C$ 所成的角为 $θ (0 < θ \leq \frac{π}{2})$ .当 $p$ 取最大值时，求 $\cos θ$ 的值.

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20. 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．

(1)、若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获的奖励额为60元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；

(2)、商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．

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21. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线分别为 $l_{1} ： y = 2 x$ ， $l_{2} ： y = － 2 x$ .

(1)、求双曲线E的离心率；

(2)、如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 于A，B两点（A，B分别在第一、四象限），且 $△ O A B$ 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = x \cos x - \sin x ， x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ .

(1)、求证： $f (x) \leq 0$ ；

(2)、若 $a < \frac{\sin x}{x} < b$ 对 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 恒成立，求的最大值与的最小值.

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