广东省汕头市2021届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 在复平面内的对应点关于虚轴对称， $z_{1} = 3 - i$ ，则 $z_{1} z_{2} =$ （）

A、-10 B、10 C、-8 D、8

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2. 已知全集为实数集R ，集合 $A = {x | (x + 1) (2 - x) \geq 0}$ ，则 $∁_{R} A$ =（）

A、 ${x | - 1 \leq x \leq 2}$ B、 ${x | x < - 1$ 或 $x > 2}$ C、 ${x | x \leq - 1$ 或 $x > 2}$ D、 ${x | - 1 < x < 2}$

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3. 交通事故已成为世界性的严重社会问题，加强中小学生交通安全教育具有重要的现实意义.为此，某校举行了一场交通安全知识竞赛，一共有3道难度相当的必答题目，李明同学答对每道题目的概率都是0.6，则李明同学至少答对2道题的概率是（）

A、0.36 B、0.576 C、0.648 D、0.904

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4. 已知数列 ${a_{n}}$ 中各项为非负数， $a_{2} = 1$ ， $a_{5} = 16$ ，若数列 ${\sqrt{a_{n}}}$ 为等差数列，则 $a_{13} =$ （）

A、169 B、144 C、12 D、13

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5. 已知函数 $y = f (x)$ ， $x \in [- 2 π ， 2 π]$ 的图象如图所示，则该函数的解析式可能为（）

A、 $f (x) = \cos x - | \sin x |$ B、 $f (x) = \sin x - | \cos x |$ C、 $f (x) = \cos x + | \sin x |$ D、 $f (x) = \cos 2 x - | \cos x |$

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6. 根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（）

A、35种 B、30种 C、28种 D、25种

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7. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左､右焦点分别是 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线l与C交于A ， B两点，设O为坐标原点，若 $\vec{O E} = \vec{O A} + \vec{O B}$ ，则四边形 $A O B E$ 面积的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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8. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段 $(\frac{1}{3} ， \frac{2}{3})$ ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 $[0 ， \frac{1}{3}]$ ， $[\frac{2}{3} ， 1]$ 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于 $\frac{26}{27}$ ，则需要操作的次数n的最小值为（）参考数据： $\lg 2 = 0.3010$ ， $\lg 3 = 0.4771$

A、6 B、7 C、8 D、9

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二、多选题

9. 已知菱形 $A B C D$ 边长为1， $∠ B A D = 60 °$ ，E是 $B C$ 中点，F是 $D E$ 中点，M是 $A B$ 中点，延长 $A F$ 交 $C D$ 于N(如图所示)，设 $\vec{A B} = \bar{a}$ ， $\vec{A D} = \bar{b}$ ，则下列结论正确的是（）

A、. $\vec{A F} = \frac{1}{2} \bar{a} + \frac{3}{4} \vec{b}$ B、 $\vec{M E} / / \vec{A F}$ C、 $\vec{A F} \cdot \vec{D B} = - \frac{1}{8}$ D、 $\vec{A F} = 2 \vec{F N}$

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10. 2月10日19时52分，首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道I(环火轨道)绕火星飞行，2021年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ(火星停泊轨道)，且测得该轨道近火点m千米､远火点n千米，火星半径为r千米，若用 $2 c_{1}$ 和 $2 c_{2}$ 分别表示椭圆轨道I和Ⅱ焦距，用 $2 a_{1}$ 和 $2 a_{2}$ 分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴长，则下列关系中正确的是（）

A、 $a_{1} + c_{1} = a_{2} + c_{2}$ B、 $a_{1} - c_{1} = a_{2} - c_{2}$ C、椭圆轨道Ⅱ的短轴长 $2 \sqrt{(m + r) (n + r)}$ D、 $a_{2} c_{1} < a_{1} c_{2}$

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11. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，的棱长为4，已知 $A C_{1} ⊥$ 平面α ， $A C_{1} \subset β$ ，则关于α､β截此正方体所得截面的判断正确的是（）

A、α截得的截面形状可能为正三角形 B、 $A A_{1}$ 与截面α所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、α截得的截面形状可能为正六边形 D、β截得的截面形状可能为正方形

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12. 已知抛物线方程为 $x^{2} = 4 y$ ，直线 $l ： x - 2 y - 2 = 0$ ，点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 为直线l上一动点，过点P作抛物线的两条切线，切点为A､B ，则以下选项正确的是（）

A、当 $x_{0} = 0$ 时，直线 $A B$ 方程为 $y = 1$ B、直线 $A B$ 过定点 $(0 ， 1)$ C、 $A B$ 中点轨迹为抛物线 D、 $△ P A B$ 的面积的最小值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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三、填空题

13. ${(x + \frac{1}{x} - 2)}^{5}$ 展开式的常数项为.

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14. 若 $α + β = \frac{π}{3}$ ，则 $\cos α + \cos β$ 的最小值为.

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15. 在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，E为 $A B$ 中点，将 $△ A D E$ 沿直线 $D E$ 翻折成 $△ A_{1} D E$ ，当三棱锥 $A_{1} - D E C$ 的体积最大时，三棱锥 $A_{1} - D E C$ 的外接球表面积为.

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16. 已知 $f (x) = \frac{{(\ln x + 1)}^{2}}{x}$ ， $g (x) = a (\ln x + 1) - \frac{1}{2} x$ ，若方程 $f (x) = g (x)$ 有四个不等实根，则a的取值范围为.

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四、解答题

17. 随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美食，这样网上外卖订餐应运而生.现有美团外卖送餐员小李在A地接到两份外卖单，他须分别到B地､D地取餐，再将两份外卖一起送到C地，运餐过程不返回A地.A ， B ， C ， D各地的示意图如图所示， $B D = 2 km$ ， $A D = 2 \sqrt{3} km$ ， $∠ A B D = 120 °$ ， $∠ D C B = 45 °$ ， $∠ C D B = 30 °$ ，假设小李到达B､D两地时都可以马上取餐(取餐时间忽略不计)，送餐过程一路畅通.若小李送餐骑行的平均速度为每小时20千米，请你帮小李设计出所有送餐路径(如： $A B \to B D \to D B \to B C$ )，并计算各种送餐路径的路程，然后选择一条最快送达的送餐路径，并计算出最短送餐时间为多少分钟.(各数值保留3位小数)(参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ )

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足： $t S_{n + 1} - S_{n} = t (a_{n + 1} + a_{n} - 1)$ ， $t \in R$ 且 $t (t - 1) \neq 0$ ， $n \in N *$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知 ${b_{n}}$ 是等差数列，且 $b_{1} = 3 a_{1}$ ， $b_{2} = 2 a_{2}$ ， $b_{3} = a_{3}$ ，求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. “十三五”期间脱贫攻坚的目标是，到2020年稳定实现农村贫困人口不愁吃､不愁穿，农村贫困人口义务教育､基本医疗､住房安全有保障；同时实现贫困地区农民人均可支配收入增长幅度高于全国平均水平､基本公共服务主要领域指标接近全国平均水平.脱贫攻坚已经到了啃硬骨头､攻坚拔寨的冲刺阶段，必须以更大的决心､更明确的思路､更精准的举措､超常规的力度，众志成城实现脱贫攻坚目标，决不能落下一个贫困地区､一个贫困群众.四川省某县贫困户有3400户，2012年开始进行了脱贫摘帽的规划，2013年至2019年脱贫户数逐年增加，如下表

年份	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
脱贫的户数y	60	110	210	340	660	1010	1960

根据以上数据，绘制了散点图.

参考数据：

$\bar{y}$	$\bar{v}$	$\sum_{i = 1}^{7} t_{i} y_{i}$	$\sum_{i = 1}^{7} t_{i} v_{i}$	$10^{0.54}$
621	2.54	25350	78.12	3.47

其中 $v_{i} = \lg y_{i}$ ， $\bar{ν} = \frac{1}{7} \sum_{i = 1}^{7} v_{i}$

(1)、根据散点图判断，2013年至2019年期间，

y = b t + a

与

y = c \cdot d^{'}

(c ， d均为大于零的常数)哪一个适宜作为脱贫户数y关于年份t的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)？

(2)、根据（1）的判断结果及上表中数据，建立y关于t的回归方程，并计算该县2020年能脱贫攻坚成功吗？

参考公式：对于一组数据 $(u_{1} ， ν_{1})$ ， $(u_{2} ， v_{2})$ ，…， $(u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $\hat{m} v = \hat{m} + \hat{k}$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{m} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {\bar{u}}^{2}}$ ， $\hat{k} = \bar{v} - \hat{m} \bar{u}$ .

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20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 $A B B_{1} A_{1}$ 为正方形，四边形 $A A_{1} C_{1} C$ 为菱形，且 $∠ A A_{1} C = 60 °$ ，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，点D为棱 $B B_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $A A_{1} ⊥ C D$ ；

(2)、棱 $B_{1} C_{1}$ (除两端点外)上是否存在点M ，使得二面角 $B - A_{1} M - B_{1}$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ﹐若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由.

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21. 已知双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线的左､右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ， $| P F_{1} | | P F_{2} | = 6$ .

(1)、求双曲线的标准方程；

(2)、过点 $F_{2}$ 作直线 $l$ 交双曲线于 $A ， B$ 两点，则在 $x$ 轴上是否存在定点 $Q (m ， 0)$ ，使得 $\vec{Q A} \cdot \vec{Q B}$ 为定值，若存在，请求出 $m$ 的值和该定值，若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = a x \ln x$ ， $(a \neq 0)$

(1)、若函数 $g (x) = f^{'} (x) + \frac{1}{x + 1}$ (其中： $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导数)有两个极值点，求实数a的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，求证： $f (x) < e^{x} + \sin x - 1$ .

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