广东省高州市2021届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | \frac{x + 1}{x - 1} \leq 0}$ ， $B = {y | y = 2^{x} ， x \in A}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 2)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2} ， 1)$

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2. 已知复数 $z$ 满足： $(\bar{z} - i) (1 + 2 i) = i^{3}$ （其中 $i$ 为虚数单位），复数 $z$ 的虚部为（）

A、 $- \frac{4}{5} i$ B、 $\frac{4}{5} i$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则“ $S_{n} = n^{2} - n$ ”是“数列 ${a_{n}}$ 是公差为2的等差数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. ${(\frac{y}{x} - \frac{\sqrt[3]{x}}{y})}^{5}$ 的展开式中 $\frac{1}{x y}$ 的系数为（）

A、15 B、-15 C、10 D、-10

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5. 蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列人第一批国家非物质文化遗产名录．已知某蹴鞠的表面上有四个点S、A、B、C，满足 $S - A B C$ 为正三棱锥，M是SC的中点，且 $A M ⊥ S B$ ，侧棱 $S A = 2$ ，则该蹴鞠的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $8 π$ C、 $12 π$ D、 $36 π$

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6. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{e^{x} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知点 $P$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 右支上一点， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为双曲线 $C$ 的左、右焦点，若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为16，点 $O$ 为坐标原点，则 $\vec{P O} \cdot \vec{F_{1} F_{2}} =$ （）

A、20 B、-20 C、40 D、-40

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8. 已知 $A$ 、 $B$ 、 $P$ 是直线 $l$ 上三个相异的点，平面内的点 $O \notin l$ ，若正实数 $x$ 、 $y$ 满足 $4 \vec{O P} = 2 x \vec{O A} + y \vec{O B}$ ，则 $\frac{2 x + y}{x y}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \log_{\frac{1}{2}} (x + 1) ， x \geq 0 ， \\ f (x + 1) ， x < 0 ， \end{array}$ 若函数 $g (x) = f (x) - x - a$ 有且只有两个不同的零点，则实数 $a$ 的取值可以是（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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二、多选题

10. 某电子商务平台每年都会举行“年货节”商业促销狂欢活动，现统计了该平台从2012年到2020年共9年“年货节”期间的销售额（单位：亿元）并作出散点图，将销售额y看成年份序号x（2012年作为第1年）的函数．运用Excel软件，分别选择回归直线和三次函数回归曲线进行拟合，效果如下图，则下列说法中正确的是（）

A、销售额y与年份序号x呈正相关关系 B、销售额y与年份序号x线性相关显著 C、三次函数回归曲线的拟合效果好于回归直线的拟合效果 D、根据三次函数回归曲线可以预测2021年“年货节”期间的销售额约为8454亿元

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11. 已知函数 $f (x) = 3 \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列结论正确的是（）

A、 $g (x)$ 为非奇非偶函数 B、 $g (x)$ 的一个单调递增区间为 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{12}]$ C、 $g (x)$ 为奇函数 D、 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上只有一个极值点

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12. 古希腊时期，人们把宽与长之比为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} (\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618)$ 的矩形称为黄金矩形，把这个比值 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 称为黄金分割比例．下图为希腊的一古建筑，其中图中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均为黄金矩形，若M与K间的距离超过1.5m，C与F间的距离小于11m，则该古建筑中A与B间的距离可能是（）（参考数据： ${0.618}^{2} \approx 0.382$ ， ${0.618}^{3} \approx 0.236$ ， ${0.618}^{4} \approx 0.146$ ， ${0.618}^{5} \approx 0.090$ ， ${0.618}^{6} \approx 0.056$ ， ${0.618}^{7} \approx 0.034$ ）

A、26.8m B、30.1m C、27m D、29.2m

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三、填空题

13. 1765年欧拉在其著作《三角形的几何学》首次提出：三角形的重心、垂心、外心在同一条直线上，我们把这条直线称为该三角形的欧拉线，若 $△ A B C$ 的顶点都在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上，边AB所在直线方程为 $x + 2 y = 1$ ，且 $A C = B C$ ，则 $△ A B C$ 的欧拉线方程为．

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14. 国庆节期间，某市举行―项娱乐活动，需要从5名男大学生志愿者及3名女大学生志愿者中选出6名分别参与A，B，C三个服务项目，每个项目需要2人，其中A项目需要男志愿者，B项目需要1名男志愿者及1名女志愿者，则不同的选派方法种数为．

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15. 已知 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，且 $2 \cos 2 α = \sin α - 1$ ，则 $\tan α =$ ．

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16. 已知区域D表示不在直线 $(1 - m^{2}) x + 2 m y = 2 + 2 \sqrt{3} m$ ( $m \in R$ )上的点构成的集合，则区域D的面积为，若在区域D内任取一点 $P (x ， y)$ ，则 $\frac{x + y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 的取值范围为.

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四、解答题

17. 如图，△ $B C D$ 为等腰三角形，点A，E在△ $B C D$ 外，且 $D E = 8$ ，若 $∠ B C D = ∠ B A E = \frac{2 π}{3}$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、从以下三个条件中任选一个，求 $B E$ 的长度；
① $∠ C D E = \frac{2 π}{3}$ ；② $\cos ∠ D B E = \frac{3}{5}$ ，③锐角 $△ D B E$ 的面积为 $12 \sqrt{3}$ ．

(2)、在你所选的（1）条件下，求 $B A + A E$ 的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答给分．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{a_{n} + 3}$ ( $n \in N^{*}$ ).

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = (3^{n} - 1) \cdot \frac{n}{2^{n}} \cdot a_{n}$ ，设 $T_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，求使 $k > T_{n}$ 恒成立的最小的整数 $k$ .

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19. 如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A B = 2 C D = 2 A D = 4 \sqrt{3}$ ，将 $△ A D C$ 沿着 $A C$ 翻折，使得点 $D$ 到点 $P$ ，且 $P B = 2 \sqrt{6}$ ．

(1)、求证：平面 $A P C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $B C P$ 所成角的余弦值．

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20. 为落实《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，完善学校体育“健康知识＋基本运动技能＋专项运动技能”教学模式，建立“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际交流比赛”为一体的竞赛体系，构建校、县（区）、地（市）、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．其间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得 $- 1$ 分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙每次踢球命中的概率为 $\frac{2}{3}$ ，且各次踢球互不影响．

(1)、经过1轮踢球，记甲的得分为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望；

(2)、若经过 $n$ 轮踢球，用 $p_{i}$ 表示经过第 $i$ 轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ ；

②规定 $p_{0} = 0$ ，且有 $p_{i} = A p_{i + 1} + B p_{i - 1}$ ，请根据①中 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ 的值求出 $A$ 、 $B$ ，并求出数列 ${p_{n}}$ 的通项公式．

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21. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\cos 30 °$ ，直线 $x + y = \sqrt{5}$ 与椭圆相切．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、已知M，N为椭圆C的上、下端点，点T的坐标为 $(t ， 2)$ ，且直线TM、TN分别与椭圆交于两点C，D（M，N，C，D四点互不相同），求点M到直线CD距离的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - e^{x - 1}$ ．

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，证明： $f (x)$ 在 $R$ 上为减函数．

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时， $f (x) \leq a \cos x$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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