广东省佛山市顺德区2021届高三下学期数学仿真考试试卷

试卷更新日期：2021-06-09 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x < 2}$ ， $B = {x \in Z | x^{2} - 3 x \leq 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x < 2}$ B、 ${x | x \leq 4}$ C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2}$

查看试题解析
2. 已知复数 $z = {(1 + \sqrt{2} i)}^{2}$ ，则 $| z |$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、3

查看试题解析
3. 已知向量 $\vec{a} = (λ, - 2), \vec{b} = (3, 1)$ ，且 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、-6 D、6

查看试题解析
4. “中国天眼”历时22年建成，是具有我国自主知识产权，世界最大单口径（球冠底面直径500米）、最灵敏的球面射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球面被平面所截得的一部分叫做球冠，如图所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球面的半径是R ，球冠的高是h ，那么球冠的表面积公式为： $S = 2 π R h$ ）．已知天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为（）

A、60米 B、100米 C、130米 D、160米

查看试题解析
5. 已知角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线 $y = 3 x$ 上，则 $\sin (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $\pm \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

查看试题解析
6. 射击运动中，一次射击最多能得10环，下图统计了某射击运动员50次射击命中环数不少于8环的频数，用频率估计概率，则该运动员在3次独立的射击中，总环数不少于28环的概率是（）

A、 $\frac{19}{32}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{38}{125}$ D、 $\frac{32}{125}$

查看试题解析
7. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，直线 $l : 2 x - y - 3 = 0$ 与C相交于A ， B两点，若 $A B$ 中点的横坐标为2，则抛物线C的焦点与准线的距离为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

查看试题解析
8. 函数 $f (x) = (x - π) \sin x + 1$ 在区间 $[- 2 π ， 4 π]$ 上的所有零点之和为（）

A、0 B、 $π$ C、 $4 π$ D、 $8 π$

查看试题解析

二、多选题

9. 企业的核心竞争力需要大量研发投入和研发活动作为支撑．研发营收比是指企业的研发投入与营业收入的比值，是一个企业研发投入情况的一项重要指标．下图是某公司2014年到2020年的研发投入和研发营收比的情况，则下列结论正确的是（）

A、该公司的研发投入逐年增加． B、该公司2020年的营业收入超过550亿元． C、2017年该公司的研发营收比最大． D、2017年该公司的营业收入达到最大值．

查看试题解析
10. 已知双曲线 $C : 9 x^{2} - 16 y^{2} = 144$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点P为C上的一点，且 $| P F_{1} | = 6$ ，则下列说法正确的是（）

A、双曲线的离心率为 $\frac{5}{3}$ B、双曲线的渐近线方程为 $3 x \pm 4 y = 0$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为30 D、点P在椭圆 $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{75} = 1$ 上

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = a \sin 2 x + b \cos 2 x (a > 0 ， b > 0)$ ，且 $f (\frac{π}{3}) = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (\frac{π}{12}) = 2 a$ C、将 $f (x)$ 图像向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位得到一个偶函数 D、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{12} ， \frac{7 π}{12})$ 上单调

查看试题解析
12. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $e^{a} + \ln b > a + b$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $a > b$ B、 $e^{a} > b$ C、 $e^{a} + b > 2$ D、 $a + \ln b > 0$

查看试题解析

三、填空题

13. ${(x - \frac{\sqrt{2}}{x})}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数．

查看试题解析
14. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{n - 2}{2 n - 11}$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，则当 $S_{n}$ 取得最小值时n的值为．

查看试题解析
15. 已知函数 $y = f (x)$ 的图象是经过原点的曲线（非直线），且在原点处的切线方程为 $y = x$ ，请写出一个符合条件函数 $y = f (x)$ 的解析式．

查看试题解析
16. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍（chú méng）者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也．甍，屋盖也．”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体．刍甍字面意思为茅屋屋顶．如图所示，现有刍甍 $A B C D E F$ ，所有顶点都在球O的球面上，球心O在矩形 $A B C D$ 所在的平面内， $A B = 4$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ，该刍甍的体积最大时， $E F =$ ，体积的最大值为．

查看试题解析

四、解答题

17. $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知 $\cos 2 A + \sin (A + \frac{π}{2}) = 0$ ．
（Ⅰ）若 $c = 2, a = 3 \sqrt{3}$ ，求 $\sin C$ 的值；

（Ⅱ）若 $b + c = 2 a$ ，证明 $△ A B C$ 为等边三角形．

查看试题解析
18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式：

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n + 1} + b_{n} = a_{n} + {(- 1)}^{n} \cdot 2^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前100项和 $T_{100}$ ．
条件①： $a_{4} = 4$ ， $S_{n} = \frac{n^{2} + k n}{2}$ ；条件②： $a_{n + 1} = a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ ， $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{4} - 1$ 成等比数列；

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

查看试题解析

19. 十四五发展纲要提出要推进能源革命，建设清洁低碳、安全高效的能源体系，加快发展非化石能源，大力提升风电、光伏发展规模，有序发展海上风电．海上风电相比与陆上风电有着一定的优势，海上风电可装的风机更大，风资源利用率更高，近几年我国海上风电事业发展良好．下面是近五年我国海上风电发展情况表和对应的散点图．

2016-2020年中国海上风电新增装机容量及累计装机容量表（单位：万千瓦）

年份	2016	2017	2018	2019	2020
年份代号t	1	2	3	4	5
新增装机容量u	31	69	140	219	306
累计装机容量v	104	173	313	532	838

(1)、为了分析中国海上风电装机容量的情况，建立了

\hat{u} = b t + a

和

\hat{v} = d t + c

两个线性回归模型，你认为用哪个线性回归模型更可靠？并说明理由．

(2)、根据（1）的判断结果及表中数据，求出回归方程，并根据这个回归模型回答下列问题：

①2021年我国海上风电新增装机容量的预测值是多少？

②预计至少要到哪一年，我国海上风电累计装机容量超过2000万千瓦？

参考数据：

$\sum_{i = 1}^{5} u_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} u_{i} t_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} v_{i}$	$\sum_{i = 1}^{5} v_{i} t_{i}$
765	2995	1960	7707

参考公式：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ， \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

查看试题解析

20. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A B = 2 ， A A_{1} = 3$ ，M ， N分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点，P为线段 $C C_{1}$ 上一点．平面 $A B C_{1}$ 与平面 $A N P$ 的交线为l ．

（Ⅰ）是否存在点P使得 $C_{1} M / /$ 平面 $A N P$ ？若存在，请指出点P的位置并证明；若不存在，请说明理由．

（Ⅱ）若 $C P = 1$ ，求二面角 $B - l - N$ 的余弦值．

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - x}{1 + x}$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间．

(2)、当 $x \in (0 ， + \infty)$ 时， $f (x) < e^{a x}$ 恒成立，求a的取值范围．

查看试题解析
22. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且过点 $(1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，直线l与椭圆相交于M、N两点，过点 $P (2, 0)$ 的直线 $P M$ 、 $P N$ 分别与椭圆相交于另外两点A、B ，且直线 $A B$ 的斜率为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．

（Ⅱ）求证：直线l恒过定点．

查看试题解析