福建省三明市2021届高三数学围题卷

试卷更新日期：2021-06-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $M = {x | \lg x > 0}$ ， $N = {x | x^{2} \leq 4}$ ，则 $M \cap N =$ （）．

A、 $(1, 2)$ B、 $[1, 2)$ C、 $(1, 2]$ D、 $[1, 2]$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z$ 满足 $i (2 - z) = 3 + i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、5 D、10

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3. 已知江大爷养了一些鸡和兔子，晚上关在同一间房子里，数了一下共有7个头，20只脚，清晨打开房门，鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{2}{21}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{4}{7}$

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4. 斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所持有，图一图二是北京故宫太和殿斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽(长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体)组成.若棱台两底面面积分别是 $400 {cm}^{2}$ ， $900 {cm}^{2}$ ，高为 $9 cm$ ，长方体形凹槽的高为 $12 cm$ .那么这个斗的体积是（）

A、 $6700 {cm}^{3}$ B、 $6900 {cm}^{3}$ C、 $13800 {cm}^{3}$ D、 $14800 {cm}^{3}$

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5. 在 $△ A B C$ 中，点D满足 $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ，点E为线段 $A D$ 的中点，则向量 $\vec{C E} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{6} \vec{A C}$ B、 $\frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{5}{6} \vec{A C}$

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6. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x - \cos ω x (ω > 0)$ 满足 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = 4$ ，且 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$ ，则 $f (\frac{π}{8})$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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7. 函数 $f (x) = \frac{{(x + 1)}^{2} + \sin x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{e^{x}}{x} - e (x \geq 1) \\ a x^{2} + 8 x - 6 (x < 1) \end{array}$ 是定义在 $R$ 上的单调递增函数， $g (x) = x^{e - 1} (a \ln x + 1) + x^{e} - e$ ，当 $x \geq 1$ 时， $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 4 ， 0)$ B、 $[- 4 ， - 2]$ C、 $[- 4 ， - e]$ D、 $[- e ， - 2]$

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二、多选题

9. 已知 $a ， b ， c ， d$ 均为实数，则下列命题正确的是（）

A、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a c > b d$ B、若 $a b > 0 ， b c - a d > 0$ ，则 $\frac{c}{a} - \frac{d}{b} > 0$ C、若 $a > b ， c > d ，$ 则 $a - d > b - c$ D、若 $a > b ， c > d > 0 ，$ 则 $\frac{a}{d} > \frac{b}{c}$

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10. 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（）

A、此人第三天走了二十四里路 B、此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C、此人第二天走的路程占全程的 $\frac{1}{4}$ D、此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍

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11. 如图所示，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为棱 $C_{1} D_{1}$ ， $C_{1} C$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $A M$ 与 $B N$ 是平行直线 B、直线 $B N$ 与 $M B_{1}$ 是异面直线 C、直线 $M N$ 与 $A C$ 所成的角为60° D、平面 $B M N$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{9}{2}$

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12. 已知抛物线 $x^{2} = \frac{1}{2} y$ 的焦点为 $F$ ， $M (x_{1} ， y_{1})$ ， $N (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）

A、点 $F$ 的坐标为 $(\frac{1}{8} ， 0)$ B、若直线 $M N$ 过点 $F$ ，则 $x_{1} x_{2} = - \frac{1}{16}$ C、若 $\vec{M F} = λ \vec{N F}$ ，则 $| M N |$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ D、若 $| M F | + | N F | = \frac{3}{2}$ ，则线段 $M N$ 的中点 $P$ 到 $x$ 轴的距离为 $\frac{5}{8}$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = x e^{1 - x}$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程.

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14. 设 $n \in N$ 且 $n < 5$ ，若 $6^{2021} + n$ 能被5整除，则 $n$ 等于.

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15. 直线 $l$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C$ 的左右焦点， $F_{1}$ 关于直线 $l$ 的对称点为 $M$ ，且 $M$ 是以 $F_{2}$ 为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，则双曲线 $C$ 的离心率为.

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16. 已知函数 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} {(\frac{\sqrt{a^{2} + 1} - a}{a})}^{x}$ 是 $R$ 的递减函数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 在① $b \sin B + c \sin C = (\frac{2 \sqrt{3}}{3} b \sin C + a) \sin A$ ；② $\cos^{2} C + \sin B \sin C = \sin^{2} B + \cos^{2} A$ ；③ $2 b = 2 a \cos C$ $+ c$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.
在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $Δ A B C$ 外接圆的半径为2，且___________.

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $A C = \sqrt{2}$ ， $A D$ 是 $Δ A B C$ 的内角平分线，求 $A D$ 的长度.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：

(1)、试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；

(2)、设该公路上机动车的行车速度 $v$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中 $μ$ ， $σ^{2}$ 分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差 $s^{2}$ (经计算 $s^{2} = 210.25$ ).
（i）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位)：

（ii）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望.

附注：若 $ξ ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < ξ \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < ξ \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ .参考数据： $29^{2} = 841$ .

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为等腰梯形，且 $A B = 2 C D = 4$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，点 $P$ 在平面 $A B C D$ 内的正投影点 $F$ 在 $A C$ 上，若 $Δ P A D$ 为等边三角形， $H$ 为 $A D$ 的中点.

(1)、求证： $F H / /$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求二面角 $B - P C - D$ 的大小.

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20. 已知 $a_{n} = n$ ， $b_{n} = 2 n - 1$ ，记 $c_{n} = \max {b_{1} - a_{1} n, b_{2} - a_{2} n, \cdot \cdot \cdot, b_{n} - a_{n} n}$ $(n = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot)$ ，其中 $\max {x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{s}}$ 表示 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{s}$ 这 $s$ 个数中最大的数．

(1)、求 $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ 的值；

(2)、证明 ${c_{n}}$ 是等差数列.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，上顶点为 $D$ ，过右焦点 $F (1 ， 0)$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，点 $P$ 在 $x$ 轴上方，当 $P Q ⊥ x$ 轴时， $O P // A D$ （ $O$ 为坐标原点）.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程.

(2)、设直线 $A P$ 交直线 $B Q$ 于点 $M$ ，直线 $B P$ 交直线 $A Q$ 于点 $N$ ，则 $∠ M F N$ 是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

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22. 设 $f (x) = \frac{\ln (x - 1)}{{(x - 1)}^{n}} (n \in N^{*})$

(1)、判断函数 $f (x)$ 是否不单调，并加以证明；

(2)、试给出一个正整数 $a$ ，使得 $\frac{e^{x}}{x} - x \cdot \ln x > \frac{a \sin x}{x}$ 对 $\forall x \in (0, + \infty)$ 恒成立，并说明理由.(参考数据： $e \approx 2.72$ ， $e^{2} \approx 7.39$ ， $e^{3} \approx 20.10$ )

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