安徽省宿州市2021届高三下学期文数第三次模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-06-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 \leq x < 4}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x < 4}$ B、 ${x | - 1 \leq x \leq 0}$ C、 ${x | - 1 \leq x \leq 3}$ D、 ${x | 0 \leq x \leq 3}$

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2. $i$ 为虚数单位，若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 1 - i$ ，则 $| z | =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 教育部办公厅于2021年1月18日发布了《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，通知要求中小学生原则上不得将个人手机代入校园．某学校为了解2000名学生的手机使用情况，将这些学生编号为1，2，…，2000，从这些学生中用系统抽样方法抽取200名学生进行调查．若58号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）

A、9号学生 B、300号学生 C、618号学生 D、816号学生

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4. 我国古代著名数学家祖冲之早在1500多年前就算出圆周率 $π$ 的近似值在 $3.1415926$ 和 $3.1415927$ 之间，这是我国古代数学的一大成就.我们知道用均匀投点的模拟方法，也可以获得问题的近似解.如图，一个圆内切于一个正方形，现利用模拟方法向正方形内均匀投点，若投点落在圆内的概率为 $\frac{11}{14}$ ，则估计圆周率 $π$ 的值为（）

A、 $\frac{22}{7}$ B、 $\frac{25}{8}$ C、 $\frac{355}{113}$ D、 $\frac{377}{120}$

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5. 已知 ${a_{n}}$ 为等差数列且 $a_{1} = 1$ ， $a_{4} + a_{9} = 24$ ， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项的和，则 $S_{12} =$ （）

A、142 B、143 C、144 D、145

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6. 已知函数 $f (x) = x^{2} + \ln (| x | + e)$ ，则（）

A、 $f (0) < f (\log_{π} 3) < f (- \log_{3} π)$ B、 $f (- \log_{3} π) < f (\log_{π} 3) < f (0)$ C、 $f (- \log_{3} π) < f (0) < f (\log_{π} 3)$ D、 $f (\log_{π} 3) < f (0) < f (- \log_{3} π)$

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7. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{e^{x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 执行如图所示的程序框图，则输出的 $m =$ （）

A、 $9$ B、 $10$ C、 $11$ D、 $12$

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9. 抛物线 $C ： y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，其准线 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $K$ ，点 $M$ 在抛物线 $C$ 上，当 $| M K | = \sqrt{2} | M F |$ 时， $△ M F K$ 的面积为（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、8 D、 $8 \sqrt{2}$

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10. 已知函数 $f (x) = \sin ω x \cos ω x + \frac{1}{2} \cos^{2} ω x - \frac{1}{2} \sin^{2} ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，将其图像向左平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度后，得函数 $g (x)$ 的图像，若函数 $g (x)$ 为奇函数，则 $φ$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{16}$ B、 $\frac{3 π}{16}$ C、 $\frac{5 π}{16}$ D、 $\frac{7 π}{16}$

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11. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，焦距为 $2 c$ ，以原点 $O$ 为圆心， $| O F_{2} |$ 为半径的圆与双曲线的左支交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $| A B | = \sqrt{3} c$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} + 1$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x - 3} + x \ln x - x^{2} - a x$ 满足 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， e]$ B、 $(- \infty ， - 2]$ C、 $[2 ， e]$ D、 $[- 2 ， 2]$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = x \sin x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{2} ， f (\frac{π}{2}))$ 处的切线方程为．

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14. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 2 | \vec{a} |$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ (\sqrt{3} \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为．

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15. 已知 ${a_{n}}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{5} = 14$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{11}$ 成等比数列，设 $b_{n} = {(- 1)}^{n + 1} a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2021} =$ ．

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16. 已知三棱锥 $P - A B C$ 的外接球 $O$ 的半径为 $\sqrt{13}$ ， $△ A B C$ 为等腰直角三角形，若顶点 $P$ 到底面 $A B C$ 的距离为4，且三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $\frac{16}{3}$ ，则满足上述条件的顶点 $P$ 的轨迹长度是．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ 、 $c$ ，且 $a \sin B = b \sin (\frac{π}{3} - A) + \sqrt{3} b$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求边 $B C$ 的中线 $A D$ 长度的最小值.

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18. 2020年12月29日至30日，全国扶贫开发工作会议在北京召开，会议指出经过各方面的共同努力，中国现行标准下农村贫困人口全部脱贫，贫困县全部摘帽，贫困村全部退出，脱贫攻坚目标任务如期全面完成.2021年是“十四五”规划开局之年，是巩固拓展脱贫攻坚成果、实现同乡村振兴有效衔接的起步之年．要按照中共中央国务院新决策新部署，把巩固拓展脱贫攻坚成果摆在头等重要位置来抓，推动脱贫攻坚政策举措和工作体系逐步向乡村振兴平稳过渡，用乡村振兴巩固拓展脱贫攻坚成果，坚决守住脱贫攻坚胜利果实，确保不出现规模性返贫，确保实现同乡村振兴有效衔接，确保乡村振兴有序推进．北方某刚脱贫的贫困地区积极响应，根据本地区土地贫瘠，沙地较多的特点，准备大面积种植一种叫做欧李的奇特的沙漠果树，进行了广泛的宣传．经过一段时间的宣传以后，为了解本地区广大农民对引进这种沙漠水果的理解程度、种植态度及思想观念的转变情况，某机构进行了调查研究，该机构随机在该地区相关人群中抽取了600人做调查，其中45岁及以下的350人中有200人认为这种水果适合本地区，赞成种植，45岁以上的人中赞成种植的占

\frac{2}{5}

．

(1)、完成如下的2×2列联表，并回答能否有99.5%的把握认为“赞成种植与年龄有关”？

	赞成种植	不赞成种植	合计
45岁及以下
45岁以上
合计

(2)、为了解45岁以上的人的想法态度，需要在已抽取45岁以上的人中按种植态度（是否赞成种植）采用分层抽样的方法选取5位45岁以上的人做调查，再从选取的5人中随机抽取2人做深度调查，求2人中恰有1人“不赞成种植”的概率．

附表：

P（K²≥k₀）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参考公式为： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ， $P A = B C = A B = 2$ ， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $D 、 E 、 F$ 分别为 $A C$ 、 $P A$ 、 $P B$ 的中点．

(1)、证明： $B D ⊥ P C$ ；

(2)、求三棱锥 $C - D E F$ 的体积．

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20. 已知点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，动点 $P$ 满足 $| P A | + | P B | = 4$ ， $P$ 点的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知圆 $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ 上任意一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 处的切线方程为： $x_{0} x + y_{0} y = R^{2}$ ，类比可知椭圆： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上任意一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 处的切线方程为： $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ ．记 $l_{1}$ 为曲线 $C$ 在任意一点 $P$ 处的切线，过点 $B$ 作 $B P$ 的垂线 $l_{2}$ ，设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 交于 $Q$ ，试问动点 $Q$ 是否在定直线上？若在定直线上，求出此直线的方程；若不在定直线上，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{1}{2} a x^{2} + (a - 1) x$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \leq \frac{e^{x}}{2 e^{2}} - \frac{1}{2} a x^{2} - x$ 恒成立，求整数 $a$ 的最大值．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为： ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 \cos α \\ y = 2 \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），已知直线 $l_{1} : x - \sqrt{3} y = 0$ ，直线 $l_{2} : \sqrt{3} x + y = 0$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C$ 以及直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若直线 $l_{1}$ 与曲线 $C$ 分别交于 $O$ 、 $A$ 两点，直线 $l_{2}$ 与曲线 $C$ 分别交于 $O$ 、 $B$ 两点，求 $△ A O B$ 的面积.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | - | x + 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 1$ 的解集；

(2)、若函数 $f (x)$ 的最大值为 $m$ ，且正实数 $a$ ， $b$ 满足 $2 a + b = m$ ，求证： $a^{2} + 4 b^{2} \geq \frac{36}{17}$ .

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