安徽省马鞍山市2021届高三下学期理数第二次教学质量监测试卷

试卷更新日期：2021-06-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {y | y = - x^{2} ， x \in R}$ ， $N = {x | - 1 < x \leq 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(- 1 ， 2]$ B、 $[0 ， 2]$ C、 $(- 1 ， 0]$ D、 $(- 1 ， 0)$

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2. 已知复数 $z_{1}$ 与 $z_{2}$ 在复平面内对应的点关于原点对称，且 $(2 - i) z_{1} = | 4 - 3 i |$ ，则 $z_{2} =$ （）

A、 $- 2 - i$ B、 $- 2 + i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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3. 设a，b为两条直线，则 $a // b$ 的充要条件是（）

A、a，b垂直于同一条直线 B、a，b垂直于同一个平面 C、a，b平行于同一个平面 D、a，b与同一个平面所成角相等

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4. 函数f(x)=xcosx- $\frac{1}{x}$ 在(－π，π)上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知sin $(\frac{π}{3} - α)$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则cos $(\frac{π}{3} + 2 α)$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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6. 若 ${(x + \frac{2}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中存在常数项，则 $n$ 可以是（）

A、8 B、7 C、6 D、5

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7. 2020年初，从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常､旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会.已知蝗虫的产卵量 $y$ 与温度 $x$ 的关系可以用模型 $y = c_{1} e^{c_{2} x}$ 拟合，设 $z = \ln y$ ，其变换后得到一组数据：

x

20

23

25

27

30

z

2

2.4

3

3

4.6

由上表可得线性回归方程 $z = 0.2 x + a$ ，则 $c_{1} =$ （）

A、-2 B、 $e^{- 2}$ C、3 D、 $e^{3}$

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8. 小明去文具店购买中性笔，现有黑色､红色､蓝色三种中性笔可供选择，每支单价均为1元.小明只有6元钱，且全部用来买中性笔，则不同的选购方法有（）

A、10种 B、15种 C、21种 D、28种

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9. 我国的古代医学著作《神农本草经》中最早记录了蜜蜂蜂巢的药用功效.蜜蜂的蜂巢是由数千个蜂房组成的，如图是一个蜂房的结构示意图，它的几何结构是正六棱柱形，其一端是正六边形开口，另一端则由三个全等的菱形组成.经过测量，某蜂巢一个蜂房的正六边形的边长约为 $4 mm$ ，菱形边长约为 $4.242 mm$ ，则该菱形较小角的余弦值约为（）(参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ )

A、0.333 B、0.4 C、0.5 D、0.667

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10. 已知 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = \frac{3 π}{4}$ ， $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ， $A C ⊥ C D$ ，则 $\sin A$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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11. 过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，线段 $A F$ ， $B F$ 的中点在 $y$ 轴上的射影分别为点 $M$ ， $N$ ，若 $△ A F M$ 与 $△ B F N$ 的面积之比为4，则直线 $A B$ 的斜率为（）

A、 $\pm 1$ B、 $\pm \sqrt{2}$ C、 $\pm 2$ D、 $\pm 2 \sqrt{2}$

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12. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，下列说法错误的是（）

A、若 $0 < a < b < 1$ ，则 $\frac{b}{a} > \frac{b^{a}}{a^{b}}$ B、若 $2 a e^{a} = 3 b e^{b}$ ，则 $a > b$ C、 $a^{b} + b^{a} > 1$ 恒成立 D、 $\exists a \in (0 ， 1)$ ，使得 $a e^{- a} = \frac{1}{a} e^{- \frac{1}{a}}$

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二、填空题

13. 已知平面向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{2})$ ， $\vec{b} = (3, λ)$ ，若 $\vec{a} / / (\vec{a} - \vec{b})$ ，则实数 $λ$ 的值为.

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14. 设变量 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{array}{l} x - y + 1 \geq 0 \\ x + y - 3 \geq 0 \\ 2 x - y - 3 \geq 0 \end{array}$ ，则目标函数 $z = 3 x + 2 y$ 的最小值为.

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15. 曲率半径可用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上点 $P (x_{0}, y_{0})$ 处的曲率半径公式为 $R = a^{2} b^{2} {(\frac{x_{0}^{2}}{a^{4}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{4}})}^{\frac{3}{2}}$ .若椭圆 $C$ 上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆 $C$ 的离心率为.

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16. 球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式 $V = \frac{π}{3} (3 R - h) h^{2}$ ，其中 $R$ 为球的半径， $h$ 为球缺的高.若一球与一所有棱长为6的正四棱锥的各棱均相切，则该球与该正四棱锥的公共部分的体积为.

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 5$ ，且 $a_{n + 1} a_{n} = 4 S_{n} - 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .若 $\forall n \in N^{*}$ ， $T_{n} < - m^{2} + 2 m$ ( $m$ 为奇数)，求 $m$ 的值.

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18. 如图，六面体 $A B C D E F G$ 中， $B E ⊥$ 面 $A B C$ 且 $B E ⊥$ 面 $D E F G$ ， $D G // E F$ ， $E D = D G = G F = 1$ ， $A B = B C = C A = E F = 2$ .

(1)、求证： $D F ⊥$ 平面 $A B E D$ ；

(2)、若二面角 $A - D G - E$ 的余弦值为 $- \frac{\sqrt{57}}{19}$ ，求点 $C$ 到面 $B D F$ 的距离.

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19. 为保护长江流域渔业资源，2020年国家农业农村部发布《长江十年禁渔计划》.某市为了解决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点､汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由选择其中一个进行职业培训，七天后确定具体职业.政府对提供培训的机构有不同的补贴政策：面点培训每天200元/人，汽修培训每天300元/人.若渔民甲当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训.假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择的是汽修培训，第 $i$ 天选择汽修培训的概率是 $p_{i}$ ( $i = 1$ ，2，3，…，7).

(1)、求 $p_{3}$ ；

(2)、证明： ${p_{i} - 0.5}$ ( $i = 1$ ，2，3，…，7)为等比数列；

(3)、试估算一周内政府渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望( ${0.2}^{7}$ 近似看作0).

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20. 已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b \neq 1)$ 的左焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，过点 $F$ 向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为 $P$ ，直线 $A P$ 与双曲线的左支交于点 $B$ .

(1)、设 $O$ 为坐标原点，求线段 $O P$ 的长度；

(2)、求证： $P F$ 平分 $∠ B F A$ .

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21. 已知函数 $f (x) = x \ln x - a x^{2} + (2 a - 1) x + a$ ，其中 $a$ 为常数.

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $a \geq \frac{1}{2}$ 时，求证：对 $\forall x_{1} < x_{2}$ ，且 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $\frac{\ln (x_{1} + 1) - \ln x_{1}}{\ln (x_{2} + 1) - \ln x_{2}} > \frac{x_{2} + a}{x_{1} + a}$ 恒成立.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \cos t - \sqrt{3} \sin t \\ y = 1 + \sin t + \sqrt{3} \cos t \end{array}$ （t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C₂的极坐标方程为 $θ = α$ (ρ∈R， $α$ ∈[0，π))，且直线C₂与曲线C₁交于A，B两点.

(1)、求曲线C₁的极坐标方程；

(2)、当|AB|最小时，求 $α$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 4 | + | x |$ .

(1)、解不等式 $f (2 x - 1) \leq 6$ ；

(2)、记函数 $f (x)$ 的最小值为 $a$ ，且 $m^{2} + n^{2} = \frac{a}{4}$ ，其中 $m, n$ 均为正实数，求证： $\frac{m^{3}}{n} + \frac{n^{3}}{m} \geq \frac{a}{4} .$

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x	20	23	25	27	30
z	2	2.4	3	3	4.6