2021年高考理数真题试卷（全国甲卷）

试卷更新日期：2021-06-09 类型：高考真卷

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合M=｛x|0＜x＜4｝，N=｛x| $\frac{1}{3}$ ≤x≤5｝，则M∩N=（）

A、｛x|0＜x≤ $\frac{1}{3}$ ｝ B、｛x| $\frac{1}{3}$ ≤x＜4｝ C、｛x|4≤x＜5｝ D、｛x|0＜x≤5｝

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2. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）

A、该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B、该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C、估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D、估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间

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3. 已知 $（ 1 - i ）^{2} z = 3 + 2 i$ ，则z=（）

A、-1- $\frac{3}{2}$ i B、-1+ $\frac{3}{2}$ i C、- $\frac{3}{2}$ +i D、- $\frac{3}{2}$ -i

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4. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（）（ $\sqrt[10]{10}$ ≈1.259）

A、1.5 B、1.2 C、0.8 D、0.6

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5. 已知F₁ ， F₂是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F₁PF₂=60°，|PF₁|=3|PF₂|，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\sqrt{7}$ D、 $\sqrt{13}$

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6. 在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 等比数列｛a_n｝的公比为q，前n项和为S_n ，设甲：q>0，乙:｛S_n｝是递増数列，则（）

A、甲是乙的充分条件但不是必要条件 B、甲是乙的必要条件但不是充分条件 C、甲是乙的充要条件 D、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

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8. 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B，C三点，且A，B，C在同一水平而上的投影A’，B’，C'满足 $∠ A^{'} C^{'} B = 45 ° ， ∠ A^{'} B^{'} C^{'} = 60 °$ .由c点测得B点的仰角为15°，曲， $B B^{'}$ 与 $C C^{'}$ 的差为100 ：由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的高度差 $A A^{'} - C C^{'}$ 约为（） $（ \sqrt{3} \approx 1.732 ）$

A、346 B、373 C、446 D、473

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9. 若 $α \in （ 0, \frac{π}{2})$ , $\tan 2 α = \frac{\cos α}{2 - \sin α}$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{3}$

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10. 将4个1和2个0随机排成一行，则2个0 不相邻的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{5}$

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11. 已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点，且AC⊥BC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{12}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{12}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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12. 设函数f(x)的定义域为R ， f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当 $x \in [1, 2]$ 时， $f (x) = a x^{2} + b$ .若 $f (0) + f (3) = 6$ ,则 $f (\frac{9}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{9}{4}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、 $\frac{5}{2}$

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 曲线 $y = \frac{2 x - 1}{x + 2}$ 在点（-1，-3）处的切线方程为。

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14. 已知向量a=(3,1)，b=(1,0)， $c = a + kb$ ，若a⊥c，则k=。

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15. 已知F₁ ， F₂为椭圆C： $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 $| PQ | = | F_{1} F_{2} |$ ，则四边形PF₁QF₂的面积为。

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16. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (ωx + φ)$ 的部分图像如图所示，则满足条件 $（ f (x) - f (- \frac{7 π}{4})) (f (x) - f (\frac{4 π}{3})) > 0$ 的最小正整数x为。

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三、解答題：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

	一级品	二级品	合计
甲机床	150	50	200
乙机床	120	80	200
合计	270	130	400

(1)、甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

(2)、能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{（ a + b ）（ c + d ）（ a + c ）（ b + d ）}$

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18. 已知数列{a_n｝的各项均为正数，记S_n为{a_n｝的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①数列{a_n｝是等差数列：②数列{ $\sqrt{S_{n}}$ ｝是等差数列；③a₂=3a₁

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

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19. 已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁.中，侧面AA₁B₁B为正方形，AB= BC = 2，E，F分别为AC和CC₁的中点，D为棱A₁B₁上的点，BF丄A₁B₁.

(1)、证明：BF⊥DE；

(2)、当为B₁D何值时，面BB₁C₁C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？

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20. 抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线L：x = 1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2，0），且 $⊙$ M与L相切，

(1)、求 $⊙$ M的方程；

(2)、设A₁ ， A₂ ， A₃ ，是C上的三个点，直线A₁ A₂ ， A₁ A₃均与 $⊙$ M相切，判断A₂A₃与 $⊙$ M的位置关系，并说明理由.

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21. 已知a＞0且a≠1，函数f（x）= $\frac{x^{a}}{a^{x}}$ （x＞0），

(1)、当a=2时，求f（x）的单调区间；

(2)、若曲线y= f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.

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四、选修4一4：坐标系与参数方程］

22. 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 $ρ$ =2 $\sqrt{2}$ cosθ.

(1)、将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)、设点A的直角坐标为（1，0），M为C上的动点，点P满足 $\vec{AP}$ = $\sqrt{2} \vec{AM}$ ，写出 P的轨迹C₁的参数方程，并判断C与C₁是否有公共点.

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五、[选修4一5：不等式选讲]

23. 已知函数f（x）=|x-2|， g（x） =|2x + 3|-|2x-1|.

(1)、画出f（x）和y=g（x）的图像；

(2)、若f（x+a）≥g（x），求a的取值范围.

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