浙江省宁波市镇海区2021年数学中考模拟试卷

试卷更新日期：2021-06-08 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 规定向右移动3个单位记作+3，那么向左移动2个单位记作（）.

A、+2 B、-2 C、 $+ \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 计算 ${(a^{3})}^{2} + a^{2} \cdot a^{4}$ 的结果为（）.

A、 $2 a^{9}$ B、 $2 a^{6}$ C、 $a^{6} + a^{8}$ D、 $a^{12}$

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3. 截止2021年3月9日，全球新冠肺炎累计确诊病例突破1亿1775万例，数1亿1775万用科学记数法可表示为（）.

A、 $1.1775 \times 10^{8}$ B、 $11.775 \times 10^{8}$ C、 $1.1775 \times 10^{9}$ D、 $11.775 \times 10^{9}$

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4. 如图是一个直五棱柱，它的主视图正确的是（）.

A、 B、 C、 D、

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5. 有31位学生参加学校举行的“最强大脑”智力游戏比赛，比赛结束后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不发生变化的是（）

A、中位数 B、平均数 C、众数 D、方差

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6. 把一些书分给几名同学，若每人分10本，则多8本；若每人分11本，仍有剩余.依题意，设有 $x$ 名同学，可列不等式（）.

A、 $10 x + 8 > 11 x$ B、 $10 x + 8 < 11 x$ C、 $10 (x + 8) > 11 x$ D、 $10 (x + 8) < 11 x$

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7. 对于命题“如果 $∠ 1 + ∠ 2 = 90 °$ ，那么 $∠ 1 \neq ∠ 2$ ”，能说明它是假命题的是（）.

A、 $∠ 1 = 50 °$ ， $∠ 2 = 40 °$ B、 $∠ 1 = 50 °$ ， $∠ 2 = 50 °$ C、 $∠ 1 = ∠ 2 = 45 °$ D、 $∠ 1 = 40 °$ ， $∠ 2 = 40 °$

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8. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的切线，切点为A，连接 $A O 、 B O$ ， $B O$ 与 $⊙ O$ 交于点C，延长 $B O$ 与 $⊙ O$ 交于点D，连接 $A D$ ，若 $∠ A B O = 36^{\circ}$ ，则 $∠ A D C$ 的度数为（）

A、 $54^{\circ}$ B、 $36^{\circ}$ C、 $32^{\circ}$ D、 $27^{\circ}$

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9. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $(- 2 ， 0)$ 、 $(x_{1} ， 0)$ ，且 $1 < x_{1} < 2$ ，与 $y$ 轴交于正半轴.下列结论错误的是（）.

A、 $4 a - 2 b + c = 0$ B、当 $x < - \frac{1}{2}$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而增大 C、当 $x > - \frac{1}{2}$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而减小 D、 $a < b < 0$

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10. 如图，两个大小相同的正方形 $A B C D$ ， $E F G H$ 如图放置，点 $E$ ， $B$ 分别在边 $A D$ ， $F G$ 上，若要求出阴影部分的周长，只要知道下列哪条线段的长度即可（）.

A、 $A B$ B、 $A E$ C、 $D E$ D、 $D E - A E$

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二、填空题

11. 分解因式：x³﹣4xy²= ．

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12. 某路口红绿灯的时间设置为：红灯20秒，绿灯40秒，黄灯4秒.当人或车随意经过该路口时，遇到红灯的概率是.

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13. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 7 cm$ ， $B C = 6 cm$ ， $⊙ O$ 与矩形的边 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 分别相切于点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ ，点 $P$ 是 $⊙ O$ 上任意一点，则线段 $A P$ 长度的最小值为.

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14. 如图在圆心角为 $90^{°}$ 的扇形 $A C B$ 中，半径 $C A = 6$ ，以 $A C$ 为直径作半圆 $O$ .过点 $O$ 作 $B C$ 的平行线交两弧分别于点 $D ， E$ ，则图中阴影部分的面积是.

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15. 如图，双曲线 $y = \frac{k}{x}$ （ $k$ 为常数， $x > 0$ ）与矩形 $O A B C$ 的边 $A B$ 相交于点 $M (\sqrt{2} ， \sqrt{3})$ ，与边 $B C$ 相交于点 $N$ ，将 $△ B M N$ 沿 $M N$ 翻折，点 $B$ 恰好落在 $x$ 轴上的点 $B^{'}$ 处.则点 $B$ 的坐标为.

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三、解答题

16.

(1)、计算： $\sqrt{12} - \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{1 \frac{1}{3}}$ .

(2)、计算： $\frac{2 x}{x^{2} - 9} - \frac{1}{x - 3}$ .

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17. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1， $△ A B C$ 是格点三角形（顶点在方格顶点处）.

(1)、在图1中画出一个格点 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，使得 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 相似，周长之比为2：1；

(2)、在图2中画出一个格点 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，使得 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 与 $△ A B C$ 相似，面积之比为2：1.

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18. 某区组织学生参加党史知识竞赛，从中抽取了200名学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计，根据成绩分成如下5组：
A. $50.5 \sim 60.5$

B. $60.5 \sim 70.5$

C. $70.5 \sim 80.5$

D. $80.5 \sim 90.5$

E. $90.5 \sim 100.5$

并绘制成如下两个统计图.

(1)、求频数分布直方图中的 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、在扇形统计图中， $D$ 组所对应扇形的圆心角为 $n °$ ，求 $n$ 的值；

(3)、求 $E$ 组共有多少人？

(4)、该区共有1200名学生参加党史知识竞赛，如果设定获得一等奖的分数不低于91分，那么请你通过计算估计全区获得一等奖的人数是多少？

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19. 如图，已知 $△ A B C$ 和 $△ C D E$ 均是直角三角形， $∠ A C B = ∠ C E D = 90 °$ ， $A C = C E$ ， $A B ⊥ C D$ 于点 $F$ .

(1)、求证： $△ A B C$ ≌ $△ C D E$ ；

(2)、若点 $B$ 是 $E C$ 的中点， $D E = 10 cm$ ，求 $A E$ 的长.

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20. 如图，在一次足球比赛中，守门员在地面 $O$ 处将球踢出，一运动员在离守门员8米的 $A$ 处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点 $M$ ，球落地后又一次弹起.据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半.

(1)、求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点 $B$ 和守门员（点 $O$ ）的距离；

(2)、运动员（点 $A$ ）要抢到第二个落点 $C$ ，他应再向前跑多少米？（假设点 $O$ 、 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 在同一条直线上，结果保留根号）

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21. 某公司销售甲、乙、丙三种型号的器材.3月份公司需支付的工资 $y_{1}$ （万元）和其余开支 $y_{2}$ （万元）与总销售量 $x$ 的关系如图所示.

型号

甲

乙

丙

进价（万元/台）

0.9

0.2

1.1

售价（万元/台）

1.2

1.6

1.3

(1)、求 $y_{1}$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、若3月份该公司需支付的工资和其余开支共3.8万元，求出这个月三种器材的总销售量；

(3)、在（2）的条件下，若3月份公司共花64万元购进甲、乙、丙三种器材，并保证全部卖出.这三种器材的进价和售价如右上表所示，若3月份的总销售利润为16.2万元，请求出甲、乙、丙三种器材各卖出几台？（总销售利润＝销售总价－总进价－工资－其余开支）

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22. 如图，如果一个矩形 $A B C D$ 绕点 $A$ 逆时针方向旋转 $α (0 ° < α < 90 °)$ 得到矩形 $A B^{'} C^{'} D^{'}$ ， $O$ 为对角线 $B D$ 中点，若边 $B^{'} C^{'}$ 与边 $B D$ 恰好交于点 $O$ ，我们称这样的旋转为有效旋转.此时边 $B^{'} C^{'}$ 与边 $A D$ 交于点 $E$ .

(1)、如图1，如果矩形 $A B C D$ 经过有效旋转后，点 $B^{'}$ 与 $O$ 恰好重合，求 $\frac{O E}{A E}$ 的值.

(2)、如图2，如果矩形 $A B C D$ 经过有效旋转后，点 $B^{'}$ 与 $O$ 不重合.
①判断 $\frac{O E}{A E}$ 是否为定值，并说明理由；

②若 $∠ A B D = \frac{3}{2} α$ ， $A B = 2 \sqrt{7}$ ，求 $A E$ 的长.

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23. 已知 $△ A B C$ ，经过点 $A$ 、 $B$ 作圆交 $A C$ 边于点 $D$ ，交 $B C$ 边于点 $E$ ，点 $P$ 是圆内一点，且满足 $∠ A P D = ∠ B P E = 90 °$ ， $∠ A D P = ∠ P B E$ ，连结 $A E$ 和 $B D$ 交于点 $F$ .

(1)、求证： $△ A P D$ ∽ $△ E P B$ ；

(2)、探索 $A E$ 和 $B D$ 的位置关系，并说明理由；

(3)、若 $B D = 4$ ，且 $A B = \sqrt{3} D E$ ，
①当 $D E = 2 \sqrt{3}$ 时，求 $E F$ 的长度；

②当 $D E$ 最小时，请直接写出 $\tan ∠ A D P$ 的值.

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型号	甲	乙	丙
进价（万元/台）	0.9	0.2	1.1
售价（万元/台）	1.2	1.6	1.3