重庆市2021年初中学业水平模拟考试数学试卷三

试卷更新日期：2021-06-08 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $| - 2021 |$ 的倒数的相反数（）

A、2021 B、 $\frac{1}{2021}$ C、-2021 D、 $- \frac{1}{2021}$

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2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列调查中，最适宜采用普查方式的是（　　）

A、对全国初中学生视力状况的调査 B、对“十一国庆”期间全国居民旅游出行方式的调查 C、旅客上飞机前的安全检查 D、了解某种品牌手机电池的使用寿命

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4. 如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O， $\frac{O E}{E A}$ ＝ $\frac{2}{3}$ ，则S_{四边形EFGH}÷S_{四边形ABCD}＝（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{4}{25}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{2}{5}$

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5. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x²﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（）

A、k≥0 B、k≥0且k≠1 C、k≥ $\frac{3}{4}$ D、k≥ $\frac{3}{4}$ 且k≠1

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6. 估计 $(\sqrt{36} - \sqrt{12}) \cdot \sqrt{\frac{1}{3}}$ 的运算结果在哪两个整数之间？（）

A、 $0$ 和 $1$ B、 $1$ 和 $2$ C、 $2$ 和 $3$ D、 $3$ 和 $4$

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 为 $⊙ O$ 的弦，且 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ，点 $F$ 为圆上一点，若 $A E = B F$ ， $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{C F}$ ， $O E = 1$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、4 D、5

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8. 如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形……按这样的规律下去，第9幅图中正方形正的个数为（）

A、180 B、204 C、285 D、385

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9. 中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《九章算术》中记载了这样一个问题，大意为：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻.将一只雀、一只燕交换位置而放，则衡器两边的总重量相等，如果5只雀和6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每1只各重多少斤？”如果设每只雀重x斤，每只燕重y斤，则下列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} 4 x + y = 5 y + x \\ 5 x + 6 y = 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 x + y = 4 y + x \\ 5 x + 6 y = 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 4 x + y = 5 y + x \\ 6 x + 5 y = 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 x + y = 4 y + x \\ 6 x + 5 y = 1 \end{array}$

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10. 我校数学社团学生小明想测量学校对面斜坡 $B D$ 上的信号树 $A B$ 的高度，已知 $B D$ 的坡度为 $1 ： \frac{5}{12}$ ，且 $B D$ 的长度为65米，小明从坡底 $D$ 处沿直线走到学校大台阶底部 $E$ 处， $D E$ 长为20米，他沿着与水平地面成30°夹角的大台阶行走20米到达平台 $F$ 处，又向前走了13米到达平台上的旗杆 $G$ 处，此时他仰望信号树的项部 $A$ ，测得仰角为50°，则信号树 $A B$ 的高度约为（）（小明的身高忽略不计）
（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ ， $\sin 50 ° \approx 0.77$ ， $\cos 50 ° \approx 0.64$ ， $\tan 50 ° \approx 1.2$ ）

A、45米 B、30米 C、35米 D、40米

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11. 如图，在等腰 $△ A O B$ 中， $A O = A B$ ，点 $A$ 为反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （其中 $x > 0$ ）图象上的一点，点 $B$ 在 $x$ 轴正半轴上，过点 $B$ 作 $B C ⊥ O B$ ，交反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象于点 $C$ ，连接 $O C$ 交 $A B$ 于点 $D$ ，若 $△ B C D$ 的面积为2，则 $k$ 的值为（）

A、20 B、 $\frac{50}{3}$ C、16 D、 $\frac{40}{3}$

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12. 如果关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 2 a \leq x - 1 ， \\ \frac{x - 3}{2} + 1 > \frac{x + 2}{3} \end{array}$ 无解，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{a - y}{1 - y} + \frac{2 a}{y - 1} = 3$ 有正数解，则所有符合条件的整数 $a$ 的值之和是（）

A、3 B、4 C、7 D、8

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二、填空题

13. 计算： $| \sqrt{3} - 2 | + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + 2 \sin 60 ° =$ .

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14. 根据世界卫生组织最新统计数据报道，截止到2020年12月2日全球累计“新冠肺炎”确诊病例已经超过63000000例，请将 63 000 000用科学记法表示为.

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15. 在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的4个小球，上面分别标有数字2，3，4，5.小丽先从袋中随机摸出一个小球，再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球.小丽摸出的两个小球上的数字和为偶数的概率是.

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16. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 6$ ， $F$ 是 $A B$ 中点，以点 $A$ 为圆心， $A D$ 为半径作弧交 $A B$ 于点 $E$ ，以点 $B$ 为圆心， $B F$ 为半径作弧交 $B C$ 于点 $G$ ，则图中阴影部分面积的差 $S_{1} - S_{2}$ 为.

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17. 小宁和弟弟小强分别从家和图书馆出发，沿同一条笔直的马路相向而行.小宁先出发 5 分钟后，小强骑自行车匀速回家.小宁开始跑步中途改为步行，且步行的速度为跑步速度的一半，到达图书馆恰好用了35 分钟.两人之间的距离 y(m)与小宁离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示.则当弟弟到家时，小宁离图书馆的距离为米.

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18. 2019年4月底，37国元首携代表团在我国出席“一带一路”国际合作高峰论坛，为表友好，我国政府选择将刺绣与陶瓷两类工艺品作为国礼赠送给所有来宾.甲乙两个工厂分别承接了制作 $A$ ， $B$ 两种刺绣 $C$ 种陶瓷的任务.甲工厂安排100名工人制作刺绣，每人只能制作其中一种刺绣，乙工厂安排50名工人制作 $C$ 种陶瓷， $A$ 的人均制作数量比 $B$ 的人均制作数量少3件， $C$ 的人均制作量比 $A$ 的人均制作量少20%，若本次赠送的国礼（ $A$ ， $B$ ， $C$ 三样礼品）的人均制作数量比 $B$ 的人均制作数量少30%，且 $A$ 的人均制作数量为偶数件，则本次赠送的国礼共制作了件.

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三、解答题

19. 计算

(1)、 $a (a - 3 b) - {(a + b)}^{2} + b^{2}$ ；

(2)、 $(\frac{2 x - 1}{x + 1} - x + 1) \div \frac{x - 2}{x^{2} + 2 x + 1}$ .

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20. 已知：如图所示，在 $▱ A B C D$ 中， $D E$ 、 $B F$ 分别是 $∠ A D C$ 和 $∠ A B C$ 的角平分线，交 $A B$ 、 $C D$ 于点 $E$ 、 $F$ ，连接 $B D$ 、 $E F$ .

(1)、求证： $B D$ 、 $E F$ 互相平分；

(2)、若 $∠ A = 60 °$ ， $A E = 2 E B$ ， $A D = 4$ ，求线段 $B D$ 的长.

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21. 函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，现在就一类特殊的函数展开探索：

y = x + \frac{a}{x}

，探索函数图象和性质过程如下：

$x$	…	-6	-4	-2	-1	-0.5	0.5	1	$n$	4	6	…
$y$	…	$- \frac{20}{3}$	$m$	-4	-5	$- \frac{17}{2}$	$\frac{17}{2}$	5	4	5	$\frac{20}{3}$	…

(1)、上表是该函数

y

与自变量

x

的几组对应值，则

a =

m =

n =

；

(2)、如图，在平面直角坐标系中，已经描出了表中部分点，请根据描出的点画出该函数图象；

(3)、由函数图象，写出该函数的一条性质：；

(4)、请在同一个平面直角坐标系中画出函数

y = 2 x

的图象，并直接写出不等式

x + \frac{a}{x} \leq 2 x

的解集.

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22. 为了让师生更规范地操作教室里的一体机设备，学校信息技术处制作了“教室一体机设备培训”视频，并在读报课时间进行播放.结束后为了解初中校部（含小班）、新高中校部各班一体机管理员对设备操作知识的掌握程度，信息技术处对他们进行了相关的知识测试.现从初中、新高中各随机抽取了15名一体机管理员的成绩，得分用

x

表示，共分成4组：

A

：

60 \leq x < 70

，

B

：

70 \leq x < 80

，

C

：

80 \leq x < 90

，

D

：

90 \leq x \leq 100

，对得分进行整理分析，给出了下面部分信息：

初中一体机管理员的测试成绩在 $C$ 组中的数据为：81，85，88.

新高中一体机管理员的测试成绩：76，83，71，100，81，100，82，88，95，90，100，86，89，93，86.

成绩统计表如表：（注：极差为样本中最大数据与最小数据的差）

校部	平均数	中位数	最高分	众数	极差
初中	88	$a$	98	98	32
新高中	88	86	100	$b$	$c$

(1)、

a =

，

b =

，

c =

；

(2)、通过以上数据分析，你认为（填“初中”或“新高中”）的一体机管理员对一体机设备操作的知识掌握更好？请写出理由：；

(3)、若初中、新高中共有240名一体机管理员，请估计此次测试成绩达到90分及以上的一体机管理员约有多少人？

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23. 一个正整数，若从左到右奇数位上的数字相同，偶数位上的数字相同，称这样的数为“接龙数”.例如：121，3535都是“接龙数”，123不是“接龙数”.

(1)、求证：任意四位“接龙数”都能被101整除；

(2)、若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数.对于任意的三位“接龙数” $\bar{x y x}$ ，记F（t）＝ $\bar{x y x}$ ﹣2 $\bar{x y}$ ﹣x，求使得F（t）为完全平方数的所有三位“接龙数” $\bar{x y x}$ .

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24. 水果中的牛油果和桔子的维生素含量很高，因此深受人们喜爱，“农夫果园”水果商家11月份购进了第一批牛油果和桔子共300千克，已知牛油果进价每千克15元，售价每千克30元，桔子进价每千克5元，售价每千克10元.

(1)、若这批牛油果和桔子全部销售完获利不低于3500元，则牛油果至少购进多少千克？

(2)、第一批牛油果和桔子很快售完，于是商家决定购进第二批牛油果和桔子，牛油果和桔子的进价不变，牛油果售价比第一批上涨a%(其中a为正整数)，桔子售价比第一批上涨2a%；销量与(1)中获得最低利润时的销量相比，牛油果的销量下降a%，桔子的销量保持不变，结果第二批中已经卖掉的牛油果和桔子的销售总额比(1)中第一批牛油果和桔子销售完后对应最低销售总额增加了2%，求正整数a的值.

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25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与直线 $A B$ 相交于A，B两点，其中 $A (1 ， 2)$ ， $B (﹣ 3 ， ﹣ 2)$ .

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、点E为直线 $A B$ 下方抛物线上任意一点，连接 $A E$ ， $B E$ ，求 $△ E A B$ 面积的最大值及此时点E的坐标；

(3)、点D为抛物线对称轴上的一点，当以点A，B，D为顶点的三角形为等腰三角形时，直接写出点D的坐标.

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26. 如图在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A B C = 30 °$ ；

(1)、如图1，若 $A B = 2$ ，求 $B C$ 的长；

(2)、如图2，在 $△ A D E$ 中， $A D = A E$ ， $∠ D A E = 120 °$ ，连接 $B D$ 、 $C E$ ，将 $△ A D E$ 绕点 $A$ 旋转，
①当点 $D$ 、 $E$ 、 $C$ 三点共线时，求证： $C D = \sqrt{3} A D + B D$ ；

②若 $D E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，且 $A E ⊥ C E$ ， $A D = D F$ ，请直接写出 $\frac{C G + A F}{A E}$ 的值.

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