四川省广安市岳池县2021年数学中考诊断试卷（三）

试卷更新日期：2021-06-08 类型：中考模拟

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一、单选题

1. -2021的绝对值和相反数分别为（）

A、2021， -2021 B、-2021，2021 C、2021，2021 D、-2021，-2021

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{4} \cdot a^{2} = a^{6}$ B、 $5 a^{2} b - 3 a^{2} b = 2$ C、 ${(- a^{3})}^{2} = a^{5}$ D、 ${(3 a b^{2})}^{3} = 9 a^{3} b^{6}$

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3. 下列说法正确的是（）

A、将3.10万用科学记数法表示为 $3.1 \times 10^{7}$ B、若用科学记数法表示的数为 $2.01 \times 10^{5}$ ，则其原数为20100 C、近似数2.3与2.30精确度相同 D、用四舍五入法将1.097精确到百分位为1.10

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4. 如图是小华送给她外婆的生日蛋糕，则下面关于三种视图判断完全正确的是（）

A、主视图、俯视图，左视图错误 B、俯视图、左视图正确，主视图错误 C、左视图、主视图正确，俯视图错误 D、主视图、俯视图，左视图都正确

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5. 下列说法正确的是（）

A、某种彩票的中奖机会是1%，则买100张这种彩票一定会中奖. B、为了解全国中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式. C、若甲数据的方差s _甲²＝0.05，乙数据的方差s _乙²＝0.1，则乙数据比甲数据稳定. D、一组数据3，5，4，5，5，6，10的众数和中位数都是5.

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6. 《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，十部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》.其中在《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余 $4.5$ 尺；将绳子对折再量木条，木条剩余 $1$ 尺，问绳子、木条长多少尺？”，设绳子长为 $x$ 尺，木条长为 $y$ 尺，根据题意，所列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ y - \frac{1}{2} x = 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 4.5 \\ y - \frac{1}{2} x = 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ \frac{1}{2} x - y = 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ x - \frac{1}{2} y = 1 \end{array}$

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7. 下列命题是假命题的是（）

A、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 B、平分弦的直径垂直于弦 C、两条平行线间的距离处处相等 D、正方形的两条对角线互相垂直平分

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8. 如图 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 都是边长为2的等边三角形，它们的边 $B C ， E F$ 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 $Δ A B C$ 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图Rt△ABC，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”；当AC＝3，BC＝4时，计算阴影部分的面积为（）

A、6 B、6π C、10π D、12

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10. 如图，已知顶点为(﹣3，﹣6)的抛物线y＝ax²＋bx＋c经过点(﹣1，﹣4)，则下列结论：①abc＞0；②4a﹣2b＋c＜0；③b²＞4ac；④ax²＋bx＋c≥﹣6；⑤若点M(﹣2，m)与点N(﹣5，n)为抛物线上两点，则m＞n；⑥关于x的一元二次方程ax²＋bx＋c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1.其中正确结论有（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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二、填空题

11. 如果点A（ $2 m$ ， $3 - n$ ）在第二象限，那么点B（ $m - 1$ ， $n - 4$ ）在第象限。

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12. 因式分解： $3 x^{2} - 18 x y + 27 y^{2} =$ .

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13. 规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“雅系特征值”，记作k，若 $k = \frac{2}{3}$ ，则该等腰三角形的顶角为.

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14. 正六边形的边心距为 $\sqrt{3}$ ，则该正六边形的边长是.

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15. 将抛物线 $y = 2 {(x - 4)}^{2} - 1$ 先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为.

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16. 如图，直线 $y = \sqrt{3} x$ ，点 $A_{1}$ 坐标为 $(1 ， 0)$ ，过点 $A_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交直线于点 $B_{1}$ ，以原点 $O$ 为圆心， $O B_{1}$ 长为半径画弧交 $x$ 轴于点 $A_{2}$ ；再过点 $A_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线交直线于点 $B_{2}$ ，以原点 $O$ 为圆心， $O B_{2}$ 长为半径画弧交 $x$ 轴于点 $A_{3}$ ，…，按此做法进行下去，点 $B_{2021}$ 的坐标为.

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三、解答题

17. 计算：（π﹣2）⁰﹣2cos30°﹣ $\sqrt{16}$ +|1﹣ $\sqrt{3}$ |.

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18. 先化简， $(1 + \frac{2}{x - 3}) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x - 6}$ ，然后从1，2，3中任选一个合适的 $x$ 的值，代入求值.

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19. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

(1)、求证：四边形OEFG是矩形；

(2)、若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．

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20. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ，顶点A，B都在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，直线 $A C ⊥ x$ 轴，垂足为D，连结 $O A$ ， $O C$ ，并延长 $O C$ 交 $A B$ 于点E，当 $A B = 2 O A$ 时，点E恰为 $A B$ 的中点，若 $∠ A O D = 45^{\circ}$ ， $O A = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、求 $∠ E O D$ 的度数．

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21. 某学校为了解学生“第二课堂“活动的选修情况，对报名参加A.跆拳道，B.声乐，C.足球，D.古典舞这四项选修活动的学生（每人必选且只能选修一项）进行抽样调查.并根据收集的数据绘制了图①和图②两幅不完整的统计图.

根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、本次调查的学生共有人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是；

(2)、将条形统计图补充完整；

(3)、在被调查选修古典舞的学生中有4名团员，其中有1名男生和3名女生，学校想从这4人中任选2人进行古典舞表演.请用列表或画树状图的方法求被选中的2人恰好是1男1女的概率.

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22. 有一家苗圃计划种植桃树和柏树，根据市场调查与预测，种植桃树的利润y₁（万元）与投资成本x（万元）满足如图1所示的二次函数y₁＝ax²；种植柏树的利润y₂（万元）与投资成本x（万元）满足如图2所示的正比例函数y₂＝kx ．

(1)、请分别直接写出利润y₁（万元）与利润y₂（万元）关于投资成本x（万元）的函数关系式；

(2)、若这家苗圃投资4万元种植桃树，投资6万元种植柏树，则可获得的总利润是多少万元？

(3)、若这家苗圃种植桃树和柏树投入总成本20万元，且桃树的投资成本不低于2万元，且不高于12万元，则苗圃最少能获得多少总利润？最多可获得多少总利润？

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23. 疫情期间，为了保障大家的健康，各地采取了多种方式进行预防，某地利用无人机规劝居民回家.如图，一条笔直的街道 $D C$ ，在街道 $C$ 处的正上方 $A$ 处有一架无人机，该无人机在 $A$ 处测得俯角为 $45 °$ 的街道 $B$ 处有人聚集，然后沿平行于街道 $D C$ 的方向再向前飞行60米到达 $E$ 处，在 $E$ 处测得俯角为 $37 °$ 的街道 $D$ 处也有人聚集，已知两处聚集点 $B 、 D$ 之间的距离为120米，求无人机飞行的高度 $A C$ .(参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.6$ ， $c o s 37 ° \approx 0.8$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{2} \approx 1.414$ )

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24. 如图，边长为1的正方形ABCD中，点K在AD上，连接BK，过点A，C作BK的垂线，垂足分别为M，N，点O是正方形ABCD的中心，连接OM，ON．

(1)、求证：AM=BN；

(2)、请判断△OMN的形状，并说明理由；

(3)、若点K在线段AD上运动（不包括端点），设AK=x，△OMN的面积为y，求y关于x的函数关系式（写出x的范围）；若点K在射线AD上运动，且△OMN的面积为 $\frac{1}{10}$ ，请直接写出AK长．

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25. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $D$ 在 $⊙ O$ 上（点 $D$ 不与 $A$ ， $B$ 重合），直线 $A D$ 交过点 $B$ 的切线于点 $C$ ，过点 $D$ 作 $⊙ O$ 的切线 $D E$ 交 $B C$ 于点 $E$ .

(1)、求证： $B E = C E$ ；

(2)、若 $D E // A B$ ，求 $\sin ∠ A C O$ 的值.

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26. 抛物线 $y = - \frac{\sqrt{6}}{6} x^{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + \sqrt{6}$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左边），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 是该抛物线的顶点.

(1)、如图1，连接 $C D$ ，求线段 $C D$ 的长；

(2)、如图2，点 $P$ 是直线 $A C$ 上方抛物线上一点， $P F ⊥ x$ 轴于点 $F$ ， $P F$ 与线段 $A C$ 交于点 $E$ ；将线段 $O B$ 沿 $x$ 轴左右平移，线段 $O B$ 的对应线段是 $O_{1} B_{1}$ ，当 $P E + \frac{1}{2} E C$ 的值最大时，求四边形 $P O_{1} B_{1} C$ 周长的最小值，并求出对应的点 $O_{1}$ 的坐标.

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