四川省成都市金牛区2021年数学中考二诊试卷

试卷更新日期：2021-06-08 类型：中考模拟

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一、单选题

1. -2022的相反数是（）

A、2022 B、-2022 C、 $\frac{1}{2022}$ D、 $- \frac{1}{2022}$

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2. 如图所示的几何体，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 据两会报道，“十三五”时期，我国全社会科技研发经费投入从2015年的14200亿元增长到2020年预计24000亿元左右.将14200用科学记数法表示是（）

A、 $1.42 \times 10^{4}$ B、 $0.142 \times 10^{5}$ C、 $1.42 \times 10^{5}$ D、 $1.42 \times 10^{6}$

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4. 在平面直角坐标系中，点 $P (3, - 2)$ 关于 $x$ 轴的对称点的坐标是（）

A、 $(- 3, - 2)$ B、 $(- 3, 2)$ C、 $(3, 2)$ D、 $(- 2, 3)$

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $m^{2} \cdot m^{5} = m^{10}$ B、 $m^{8} \div m^{2} = m^{4}$ C、 $4 m + 2 n = 8 m n$ D、 ${(m^{4})}^{2} = m^{8}$

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6. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（）

A、 $x^{2} - x + \frac{1}{4} = 0$ B、 $x^{2} - 2 x + 3 = 0$ C、 $x^{2} + x + 2 = 0$ D、 $x^{2} + 2 x = 0$

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7. 分式方程 $\frac{x}{x - 2} + 2 = \frac{1}{2 - x}$ 的解是（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = 0$ C、 $x = 1$ D、 $x = 2$

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8. 某校足球队有17名队员，队员的年龄情况统计如表：

年龄 $/$ 岁

13

14

15

16

人数

3

5

6

3

则这17名队员年龄的中位数和众数分别是（）

A、14，15 B、15，15 C、14.5，14 D、14.5，15

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9. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦， $∠ C A B = 60 °$ ，则 $∠ A D C$ 的度数为（）

A、 $20 °$ B、 $30 °$ C、 $40 °$ D、 $60 °$

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则下列结论：① $a b c > 0$ ；② $a + b + c > 0$ ；③ $2 a - b < 0$ ；④ $b^{2} > 4 a c$ ，其中结论正确的个数为（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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二、填空题

11. 已知有理数 $a$ 、 $b$ 满足 $| a - 3 | + {(b + 1)}^{2} = 0$ ，则 $a + b =$ .

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12. 使代数式 $\frac{x - 3}{\sqrt{x + 1}}$ 有意义的 $x$ 的取值范围为.

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13. 如图，点 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象上第二象限内的一点， $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，若 $△ A B O$ 的面积为6，则 $k$ 的值为.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以点 $A$ 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $A C$ ， $A B$ 于点 $M$ ， $N$ ，再分别以点 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 长为半径画弧，两弧交于点 $O$ ，作射线 $A O$ ，交 $B C$ 于点 $E$ .已知 $C B = 14$ ， $B E = 8$ ，则点 $E$ 到 $A B$ 的距离为.

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15. 点 $P (a ， b)$ 在函数 $y = - 3 x + 2$ 的图象上，则代数式 $9 a + 3 b - 1$ 的值等于.

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16. 关于 $x$ 的分式方程 $\frac{k - 1}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x - 1} = \frac{k}{x + 1}$ 有增根，则 $k =$ .

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17. 如图，在边长为6的菱形 $A B C D$ 中， $A C$ 为其对角线， $∠ A B C = 60 °$ ，点 $M$ 、 $N$ 分别是边 $B C$ 、 $C D$ 上的动点，且 $M B = N C$ .连接 $A M$ 、 $A N$ 、 $M N$ ， $M N$ 交 $A C$ 于点 $P$ .则点 $P$ 到直线 $C D$ 的距离的最大值为.

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18. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = 3 x$ 和 $y = - x$ 的图象分别为直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，过点 $(1 ， 0)$ 作 $x$ 轴的垂线交 $l_{1}$ 于点 $A_{1}$ ，过点 $A_{1}$ 作 $y$ 轴的垂线交 $l_{2}$ 于点 $A_{2}$ ，过点 $A_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线交 $l_{1}$ 于点 $A_{3}$ ，过点 $A_{3}$ 作 $y$ 轴的垂线交 $l_{2}$ 于点 $A_{4}$ ，…，依次进行下去，则点 $A_{6}$ 的坐标为；点 $A_{2022}$ 的坐标为.

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19. 有一组对角和为 $90 °$ 的凸四边形称为“和直四边形”，连接这对和为 $90 °$ 的两个角的顶点的线段称为“和线段”.在平面直角坐标系中，点 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ， $C (- 1 ， 2)$ ，四边形 $A B C D$ 是“和直四边形”，点 $E$ 在“和线段” $B D$ 上，且位于 $△ A B C$ 内部， $∠ A E C = 90 ° + ∠ A B C$ .设 $\frac{A E}{B E} = t$ ，点 $D$ 的纵坐标为 $y (y > 0)$ ，则 $y$ 关于 $t$ 的函数解析式为.

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三、解答题

20.

(1)、计算： ${(π + 2021)}^{0} + {(- \frac{1}{3})}^{- 2} + 2 \sin 45 ° + | \sqrt{2} - 2 |$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} \frac{3}{2} (2 - x) + x \leq 5 \\ \frac{3 x + 1}{2} + 1 > 2 x \end{array}$ ，并在数轴上表示出解集.

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21. 先化简，再求值： $(\frac{x}{x + 1} - 1) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = \sqrt{3} + 1$ .

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22. 某中学八年级在新学期开设了四门校本选修课程： $A$ .国学； $B$ .击剑； $C$ .舞蹈； $D$ .国际象棋，要求每名学生必须选择且只能选择其中一门课程，学校随机抽查了部分八年级学生，对他们的课程选择情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图.
课程选择情况条形统计图课程选择情况扇形统计图

请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)、此次共抽查了名学生；

(2)、请通过计算补全条形统计图；

(3)、现有甲，乙两名同学选课，求他们选择同一门课程的概率.

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23. 如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼 $A B$ 的高度进行测量.先测得两居民楼 $A B$ 与 $C D$ 之间的距离 $A C$ 为 $47 m$ ，后站在 $M$ 点处测得居民楼 $C D$ 的顶端 $D$ 的仰角为 $45 °$ .居民楼 $A B$ 的顶端 $B$ 的仰角为 $55 °$ .已知居民楼 $C D$ 的高度为 $18.7 m$ ，小莹的观测点 $N$ 距地面 $1.7 m$ .求居民楼 $A B$ 的高度（精确到 $1 m$ ）.（参考数据： $\sin 55 ° \approx 0.82$ ， $\cos 55 ° \approx 0.57$ ， $\tan 55 ° \approx 1.43$ ）

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24. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = m x + 1 (m \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{n}{x} (x < 0)$ 的图象交于点 $A (- 1 ， 2)$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ .

(1)、求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)、点 $C$ 是反比例函数图象上一点，过点 $C$ 作 $x$ 轴的平行线 $C D$ 交直线 $A B$ 于点 $D$ ，作直线 $A C$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，若 $S_{△ A C D} ： S_{△ A E B} = 1 ： 4$ ，求点 $E$ 的坐标.

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25. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C H$ 是 $⊙ O$ 的切线， $C H ⊥ A D$ 交 $A D$ 的延长线于点 $H$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，连接 $B D$ 交 $C E$ 于点 $G$ .

(1)、求证： $B C = C D$ ；

(2)、若 $\sin ∠ D B A = \frac{3}{5}$ ， $C G = 10$ ，求 $⊙ O$ 的半径；

(3)、在（2）的条件下，求四边形 $A B C D$ 的面积.

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26. 某商场销售每件进货价为40元的一种商品，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量 $y$ （件）与每件的售价 $x$ （元）满足一次函数关系 $y = - 20 x + 2600$ .

(1)、商场每月想从这种商品销售中获利36000元，该如何给这种商品定价？

(2)、市场监管局规定，该商品的每件售价不得高于60元，请问售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？

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27. 如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，点 $M$ 是 $A B$ 的中点，连接 $M C$ ，点 $D$ 是线段 $C A$ 延长线上一点，连接 $D M$ ，将线段 $M D$ 绕点 $M$ 顺时针旋转 $60 °$ 得 $M D^{'}$ ，射线 $M D^{'}$ 交线段 $B C$ 的延长线于点 $P$ ，交 $A C$ 于点 $H$ ， $P C < B C$ .

(1)、找出与 $∠ D$ 相等的角，并说明理由；

(2)、若 $B C = 3 C P$ ，求 $\frac{B C}{A D}$ 的值；

(3)、如图2，若点 $D$ 是直线 $A C$ 上一点，连接 $A D^{'}$ ，且 $A C = 2$ ，求 $△ A M D^{'}$ 周长的

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28. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x - 3$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 的左侧），交 $y$ 轴于点 $C$ ，点 $A$ 的坐标 $(- 1 ， 0)$ ， $A B = 4$ .

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、点 $D$ 是线段 $O C$ 上的一个动点（不与点 $O$ 、点 $C$ 重合），过点 $D$ 作 $D E // B C$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，点 $P$ 是抛物线的对称轴与线段 $B C$ 的交点，连接 $P D$ 、 $P E$ .设 $C D$ 的长为 $t$ ， $△ P C E$ 的面积为 $S$ .求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式，并求出当 $S$ 最大时，点 $D$ 的坐标；

(3)、在（2）条件下，连接 $A D$ ，把 $△ A O D$ 绕点 $O$ 沿逆时针方向旋转一定的角度 $α (0 ° < α < 360 °)$ ，得到 $△ A^{'} O D^{'}$ ，其中边 $A^{'} D^{'}$ 交坐标轴于点 $F$ .在旋转过程中，是否存在一点 $F$ ，使得 $∠ D^{'} = ∠ D^{'} O F$ ？若存在，请直接写出所有满足条件的点 $D^{'}$ 的坐标；若不存在，请说明理.

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年龄 $/$ 岁	13	14	15	16
人数	3	5	6	3