浙江省嘉兴市六校2021届高三下学期数学5月联考试卷

试卷更新日期：2021-06-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $i$ 为虚数单位，且复数 $\frac{a + i}{a - i}$ 是纯虚数，则实数 $a =$ （）．

A、1或-1 B、1 C、-1 D、0

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2. 二项式 ${(2 - x)}^{6}$ 的展开式的第3，4，5项之和是（）．

A、460 B、140 C、 $60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2}$ D、 $60 x^{4} - 160 x^{3} + 240 x^{2}$

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3. 设集合 $S = {x | x = \ln n, n \in N^{*}}$ ，若 $a, b \in S$ ，则 $a \otimes b \in S$ ，则运算符 $\otimes$ 可能是（）．

A、＋ B、－ C、× D、÷

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4. 在平面直角坐标系中，下列不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形的是（）．

A、 ${\begin{array}{l} 3 x - y + 2 > 0 \\ x - 2 y - 2 < 0 \\ x - y + 1 > 0 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 3 x - y + 2 > 0 \\ x - 2 y - 2 < 0 \\ x + y - 1 < 0 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 3 x - y + 2 > 0 \\ x - 2 y - 2 < 0 \\ 2 x - y - 1 > 0 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 3 x - y + 2 > 0 \\ x - 2 y - 2 < 0 \\ 3 x + y - 1 < 0 \end{array}$

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5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）．

A、 $\frac{140}{3}$ B、 $\frac{160}{3}$ C、 $64 + 16 \sqrt{2}$ D、 $64 + 32 \sqrt{2}$

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6. 已知直线 $y = k x + a (1 < a < \sqrt{2})$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，则 ${(\frac{a}{k})}^{2}$ 的取值范围是（）．

A、 $(0, 2)$ B、 $(1.2)$ C、 $(2, + \infty)$ D、 $(1, + \infty)$

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7. 在 $△ A B C$ 中，“ $△ A B C$ 为钝角三角形”是“ $\cos A + \cos B > \sqrt{2}$ ”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 已知 $P (t, 0) (t > 0)$ ，过抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 作直线交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，若 $C$ 上存在点 $Q$ ，使得四边形 $P A Q B$ 为平行四边形，则t（）．

A、是定值 B、有最大值 C、有最小值 D、以上说法均不正确

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9. 数列 ${x_{n}}$ 满足 $x_{n + 1} = | x_{n} - x_{n - 1} | (n \geq 2, n \in N)$ ， $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = a (a \in R, a \neq 0)$ ， $x_{n + T} = x_{n}$ ，当 $T$ 取最小值时，该数列的前2021项的和是（）．

A、674 B、673 C、1348 D、1347

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10. 如图，将矩形纸片 $A B C D$ 折起一角落 $(△ E A F)$ 得到 $△ E A^{'} F$ ，记二面角 $A^{'} - E F - D$ 的大小为 $θ (0 < θ < \frac{π}{4})$ ，直线 $A^{'} E$ ， $A^{'} F$ 与平面 $B C D$ 所成角分别为 $α$ ， $β$ ，则（）．

A、 $α + β > θ$ B、 $α + β < θ$ C、 $α + β > \frac{π}{2}$ D、 $α + β > 2 θ$

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二、填空题

11. 早在宋代，我国著名学者沈括编著的《梦溪笔谈》中，就有对排列组合问题的研究：在一个 $3 \times 4$ 的棋盘中，布局4颗相同的棋子，且每一行只有1颗棋子，则不同的棋局总数为．

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12. 若正实数 $a$ ， $b$ 满足 $b^{2} \geq 3 a^{2} + 2 a b$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{16 a}{2 a + b}$ 的最小值是．

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13. 已知平面单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $3 λ \vec{a} + (1 - λ) \vec{b} = \vec{c} (λ \in R)$ ， $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，记 $θ$ 为向量 $2 \vec{a} - \vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角，则 $\sin θ + \cos θ + \tan θ$ 的最小值是．

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14. 过点 $P (1, 2)$ 的直线 $l$ 在坐标轴上的截距相等，则 $l$ 的方程是，原点到 $l$ 的距离是．

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15. 若函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $A =$ ， $f (0) =$ ．

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16. 在1，2，3，…9这9个自然数中，任取3个数，其中恰有1个偶数的概率是（用数字作答），记 $ξ$ 为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时 $ξ$ 的值是2），则 $E (2 ξ + 1) =$ ．

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17. 已知 $a \neq 0$ ，函数 $f (x) = {\begin{array}{l} a \sqrt{x}, x > 0 \\ | x + 1 |, x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (f (x))$ 的零点个数是，若实数 $a$ 满足 $f (f (a)) \geq a$ ，则 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = \sin^{2} (x + \frac{π}{12}) - \sin^{2} (x + \frac{π}{4})$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的极值点；

(2)、若 $θ \in R$ ， $f (θ) = \frac{1}{3}$ ，求 $\sin 2 θ$ ．

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19. 等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $A D = C D = C B$ ，矩形 $A C F E$ 满足：平面 $A C F E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A E = A D = \frac{1}{2} A B$ ，如图所示．

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $A C F E$ ：

(2)、求二面角 $B - E F - D$ 的余弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} + a_{n} = 2 n + 1$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $b_{1} b_{2} b_{3} \dots b_{n} = 2^{S_{n}}$ ．
（Ⅰ）求 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ ；

（Ⅱ）求证： $\frac{S_{1}}{b_{1}} + \frac{S_{2}}{b_{2}} + \frac{S_{3}}{b_{3}} + \dots + \frac{S_{n}}{b_{n}} < 4$ ．

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21. 如图，已知直线 $A B$ 为椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 与抛物线 $C_{2} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的公切线，其中点 $A$ ， $B$ 分别在 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上，线段 $O B$ 交 $C_{1}$ 于点 $P$ ．

（Ⅰ）求 $| O P |$ 的取值范围；

（Ⅱ）记 $△ A B P$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最小值．

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22. 定义：函数 $m (x)$ ， $n (x)$ 的定义域的交集为 $D$ ， $A \subseteq D$ ，若对任意的 $x_{0} \in A$ ，都存在 $x_{1} ， x_{2} \in D$ ，使得 $x_{1}$ ， $x_{0}$ ， $x_{2}$ 成等比数列， $m (x_{1})$ ， $n (x_{0})$ ， $m (x_{2})$ 成等差数列，那么我们称 $m (x)$ ， $n (x)$ 为一对“ $K$ 函数”，已知函数 $f (x) = \sqrt{x} - \frac{a}{4} \ln \frac{x}{a}$ ， $g (x) = a x$ ， $a > 0$ ．
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）求证： $f (x) \geq \frac{a}{4} (4 - \sqrt{a})$ ；

（Ⅲ）若 $A = [1 ， + \infty)$ ，对任意的 $a \in S$ ， $f (x)$ ， $g (x)$ 为一对“ $K$ 函数”，求证： $S \subseteq [1 ， e^{4})$ ．（ $e$ 为自然对数的底数）

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