湘豫联考2021届高三文数5月联考试卷

试卷更新日期：2021-06-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 1 < x < 4}$ ， $B = {x | 2^{x} > 8}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 $(1 ， 3)$ B、 $(1 ， 3]$ C、 $(2 ， 3]$ D、 $(3 ， 4)$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z + 1 = i (z - 1)$ ，则 $z$ 的模为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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3. 函数 $f (x) = \frac{3 x}{x^{2} + \cos x}$ 的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $\cos^{2} α + \cos (\frac{π}{2} - 2 α) = \frac{7}{10}$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、3 B、 $\frac{3}{5}$ C、2 D、 $- \frac{3}{4}$

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5. 随着我国经济水平的提升，旅游收入持续增长，且国内旅游的旅游量最大､潜力最深､基础性最强，下图为连续9年我国国内旅游总收入统计图：

假设每年国内旅游总收入 $y$ (单位：万亿元)与年份代号 $x$ 线性相关，且满足 $\hat{y} = \hat{b} x + 1.21$ ，则估计第10年国内旅游总收入约为（）

A、5.97万亿元 B、6.07万亿元 C、6.17万亿元 D、6.37万亿元

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6. 将函数 $f (x) = - \cos 2 x$ 的图象沿 $x$ 轴向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象，则 $g (x)$ 的一个极值点可能为（）

A、 $x = \frac{π}{4}$ B、 $x = \frac{3 π}{8}$ C、 $x = π$ D、 $x = \frac{5}{8} π$

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7. 已知直角梯形 $A B C D$ 中， $\vec{D C} = \frac{1}{4} \vec{A B}$ ， $\vec{B E} = 2 \vec{E C}$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $A B = 4$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A C} =$ （）

A、16 B、32 C、34 D、40

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8. 已知 $f (x)$ 为二次函数，且 $f (x) = x^{2} + f^{'} (x) - 1$ ，则 $f (x) =$ （）

A、 $x^{2} - 2 x + 1$ B、 $x^{2} + 2 x + 1$ C、 $2 x^{2} - 2 x + 1$ D、 $2 x^{2} + 2 x - 1$

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9. 如图，直线 $l ： y = k x$ 与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，点 $M$ 为双曲线 $C$ 上异于 $P$ ， $Q$ ，且不与 $P$ ， $Q$ 关于坐标轴对称的任意一点，若直线 $P M$ ， $Q M$ 的斜率之积为 $\frac{3}{4}$ ，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{2} ， + \infty)$

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10. 如图，已知六个直角边长均为1和 $\sqrt{3}$ 的直角三角形围成两个正六边形，若向该图形内随机投掷一个点，则该点落在小正六边形内部的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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11. 执行下面的程序框图，则输出的S的值为（）

A、41 B、48 C、60 D、71

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12. 定义在 $R$ 上的连续函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $\cos x f^{'} (x) < (\cos x + \sin x) f (x)$ 成立，则下列各式一定成立的是（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (0) < 0$ C、 $f (π) > 0$ D、 $f (\frac{π}{2}) = 0$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = e^{x}$ ，则曲线 $f (x)$ 在点 $(0 ， 1)$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为.

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14. 若椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆中心，则称这个圆为蒙日圆.若椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a^{2} > 4)$ 的蒙日圆的半径为 $2 \sqrt{3}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为.

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15. 莱昂哈德·欧拉是近代著名的数学家，欧拉对数学的研究非常广泛.复变函数中的欧拉公式( $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ ，其中 $i$ 是虚数单位)可以实现指数式和复数式的互化，那么把 $1 + i$ 化成指数式为.

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16. 一个封闭的正方体容器内盛有一半的水，以正方体的一个顶点为支撑点，将该正方体在水平桌面上任意旋转，当容器内的水面与桌面间距离最大时，水面截正方体各面所形成的图形周长为 $3 \sqrt{2}$ ，则此正方体外接球的表面积为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = n^{2} + n$ ， $n \in N^{*}$ ，等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{4} = b_{8}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = {(a_{n})}^{\cos n π}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前2021项的乘积 $T_{2021}$ .

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18. 已知在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B / / C D$ ， $P A = A D = C D = 2 A B = 2$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点，若正视图方向与向量 $\vec{B A}$ 的方向相同时，四棱锥 $P - A B C D$ 的正视图为三角形 $P A D$ .

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $A B E$ ；

(2)、若三角形 $P A D$ 为直角三角形，求三棱锥 $E - P B C$ 的体积.

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19. 近几年，随着大众鲜花消费习惯的转变，中国进入一个鲜花消费的增长期.根据以往统计，某地一鲜花店销售某种

B

级玫瑰花，在连续统计的320天的玫瑰花售卖中，每天的玫瑰花的销售量(单位：支)与特殊节日的天数如下表：

	非特殊节日的天数	特殊节日的天数	总计
销售量在 $[120, 160]$ 内的天数	160
销售量在 $(160, 200]$ 内的天数	10		40
总计	170		320

(1)、填写上表，判断是否有99%的把握认为“每天的玫瑰花的销售量与特殊节日有关”？

(2)、若按分层抽样的方式，从上述表格的特殊节日中抽取5天作为一个样本，再从这个样本中抽取2天加以分析研究，求这两天玫瑰花的销售量在

[120, 160]

内的概率.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

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20. 直线 $l$ 交椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 于 $A$ ， $B$ 两点，满足 $O A ⊥ O B$ ，其中 $O$ 为坐标原点.

(1)、证明：直线 $l$ 恒与一个定圆相切；

(2)、设椭圆 $C$ 在 $A$ ， $B$ 两点处的切线交于点 $P$ ，求点 $P$ 的轨迹方程.

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21. 已知函数 $f (x) = x (\ln x - 1)$ ， $f^{'} (x)$ 的反函数为 $h (x)$ (其中 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数， $\ln 2 \approx 0.69$ ).

(1)、判断函数 $g (x) = f^{'} (x) + x^{2} - 3 x + 2$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上零点的个数；

(2)、当 $x \in (0 ， 1)$ ，求证： $\frac{f (x)}{h (x)} > x^{3} - x - 1$ .

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22. 已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 1 + \frac{4 k}{1 + k^{2}}, \\ y = \frac{2 (1 - k^{2})}{1 + k^{2}} \end{array}$ ( $k$ 为参数)，以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) = a$ .

(1)、将曲线 $C_{1}$ 的参数方程化为普通方程；

(2)、设曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 交于两点 $A$ ， $B$ ， $| A B | = \sqrt{14}$ ，求实数 $a$ 的值.

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23. 设 $a$ ， $b$ ， $c$ 为正数， $a + b + c = M$ ， $\sqrt{a^{2} + b^{2}} + \sqrt{b^{2} + c^{2}} + \sqrt{c^{2} + a^{2}}$ 的最小值为 $\sqrt{2}$ .

(1)、求 $M$ 的值；

(2)、求不等式 $3 | x + M | + | x - 2 M | > 4$ 的解集.

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