山东省潍坊市四县市2021届高三数学5月联考试卷

试卷更新日期：2021-06-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in N | x^{2} - x - 6 < 0}$ ，以下可为 $A$ 的子集的是（）

A、 ${x | - 2 < x < 3}$ B、 ${x | 0 < x < 3}$ C、 ${0, 1, 2}$ D、 ${- 1, 1, 2}$

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2. 已知复数 $z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| \bar{z} - 1 | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{11}}{2}$ D、 $\frac{1}{4}$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 3^{- x} + 1 (x \leq 0) \\ x^{a} + 2 (x > 0) \end{array}$ ，若 $f (f (- 1)) = 18$ ，那么实数 $a$ 的值是（）

A、4 B、1 C、2 D、3

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4. 已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (0, m)$ ， $\vec{c} = (2, 4)$ ，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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5. 车马理论也称霍姆斯马车理论，是指各种资源都得到最合理配置和使用充分均匀的一种理论.管理学家经常将“霍姆斯马车理论”引申为：一架完美的马车，没有最好的部件，只有最完美、最平衡的组合.一个富有效率的团队，不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理的使用和发挥.某班一小队共10名同学，编号分别为1，2，…，9，10，要均分成两个学习小组（学习小组没有区别），其中1，2号同学必须组合在一起，3，4号同学也必须组合在一起，其余同学可以随意搭配，就能达到最佳效果，那么一共有多少种不同的分组方式（）

A、26 B、46 C、52 D、126

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6. 一个封闭的圆柱形容器，内部装有高度为三分之一的水（图一），将容器歪倒放在水平放置的的桌面上，设水面截底面得到的弦 $A B$ 所对的圆心角为 $θ$ ，则（）

A、 $θ = \frac{π}{3}$ B、 $θ = \frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3} = θ - \sin θ$ D、 $\frac{2 π}{3} = θ - \sin θ$

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7. 如图， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $l ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{1}$ 的直线与双曲线左、右两支分别交于点P， $Q$ ．若 $\vec{F_{1} Q} = 5 \vec{F_{1} P}$ ，M为PQ的中点，且 $\vec{F_{1} Q} ⊥ \vec{F_{2} M}$ ，则双曲线的离心率为（）．

A、 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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8. 关于函数 $f (x) = \frac{\sin x}{x}$ ， $x \in (0 ， + \infty)$ 的性质，以下说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的周期是 $2 π$ B、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有极值 C、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 单调递减 D、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 内有最小值

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9. 甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：
甲预测说：我不会获奖，丙获奖；              乙预测说：甲和丁中有一人获奖；

丙预测说：甲的猜测是对的；                  丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中.

成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）.

A、甲和乙 B、乙和丙 C、甲和丙 D、乙和丁

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二、多选题

10. $a$ 、 $b$ 为实数且 $a > b > 0$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $2021^{a - 1} > 2021^{b - 1}$ C、 $a + b + 2 > 2 \sqrt{a} + 2 \sqrt{b}$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > \frac{4}{a + b}$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin (\frac{π}{4} + \frac{x}{2}) \sin (\frac{π}{4} - \frac{x}{2}) - \sin (π + x)$ ，则有（）

A、 $f (\frac{π}{6}) \geq f (x)$ B、 $f (\frac{π}{6} + x) = f (\frac{π}{6} - x)$ C、 $(\frac{2 π}{3} ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的对称中心 D、方程 $f (x) = \log_{2 π} x$ 有三个实根

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12. 一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示， $∠ B = ∠ F = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ， $∠ D = 45 °$ ， $B C = D E = \sqrt{3}$ ，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥 $F - A B C$ ，取 $B C$ 中点 $O$ 与 $A C$ 中点 $M$ ，则下列判断中正确的是（）

A、 $B C ⊥$ 面 $O F M$ B、 $A C$ 与面 $O F M$ 所成的角为定值 C、三棱锥 $F - C O M$ 体积为定值 D、若平面 $B C F ⊥$ 平面 $A B C$ ，则三棱锥 $F - A B C$ 外接球体积为 $\frac{4}{3} π$

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三、填空题

13. 写出一个满足 $f (x) = f (2 - x)$ 的奇函数 $f (x) =$ .

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14. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为 $m = 2 sin 18^{°}$ .若 $m^{2} + n = 4$ ，则 $\frac{m + \sqrt{n}}{sin 63 °} =$ .

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1021$ ，其 $n$ 前项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = - S_{n - 1} - n^{2}$ ，则 $a_{2021} =$ .

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16. 从抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的准线 $l$ 上一点 $P$ 引抛物线的两条切线 $P A$ 、 $P B$ ，且 $A$ 、 $B$ 为切点，若直线 $A B$ 的倾斜角为 $\frac{π}{6}$ ，则 $P$ 点的横坐标为.

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四、解答题

17. 在① $\sqrt{2} a \sin C = c \cos (\frac{π}{4} - A)$ ，② $\sqrt{2} c \cos A = a \cos B + b \cos A$ ，③ $b^{2} + c^{2} = a^{2} + \sqrt{2} b c$ 这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答问题.
问题：在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $b = 3$ ， $△ A B C$ 的面积为3， ▲ ，求 $a$ .

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = a_{2} = 2$ ，当 $n \geq 2$ 时， $S_{n + 1} + S_{n - 1} = 2 S_{n} + 1$ .

(1)、求证：当 $n \geq 2$ ， $a_{n + 1} - a_{n}$ 为定值；

(2)、把数列 ${a_{n}}$ 和数列 ${2^{a_{n}}}$ 中的所有项从小到大排列，组成新数列 ${c_{n}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前100项和 $T_{100}$ .

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19. 为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如下的频数分布表：

周末运动时间t（分钟）	$[30,40)$	$[40,50)$	$[50,60)$	$[60,70)$	$[70,80)$	$[80,90]$
人数	300	600	900	450	450	300

(1)、从周末运动时间在

[70,80)

的学生中抽取3人，在

[80,90]

的学生中抽取2人，现从这5人中随机推荐2人参加体能测试，记推荐的2人中来自

[70,80)

的人数为

X

，求

X

的分布列和数学期望；

(2)、由频数分布表可认为：周末运动时间

t

服从正态分布

N (μ, σ^{2})

，其中

μ

为周末运动时间的平均数

\bar{t}

，

σ

近似为样本的标准差

s

，并已求得

s \approx 14.6

．可以用该样本的频率估计总体的概率，现从扬州市所有高中生中随机抽取10名学生，记周末运动时间在

(43.9, 87.7]

之外的人数为

Y

，求

P (Y = 2)

（精确到0.001）；

参考数据1：当 $t \sim N (μ, σ^{2})$ 时， $P (μ - σ < t < μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < t < μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < t < μ + 3 σ) = 0.9973$ ．

参考数据2： ${0.8186}^{8} \approx 0.202$ ， ${0.1814}^{2} \approx 0.033$ .

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20. 已知多面体 $E F - A B C D$ 中， $A D E F$ 为正方形，平面 $A D E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B // C D$ ， $B C ⊥ C D$ ， $A B = \sqrt{5}$ ， $B C = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ， $B D = 2$ .

(1)、证明： $A E ⊥ B F$ ；

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $B C E$ 所成锐二面角的余弦值.

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21. 椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆短轴上的一个顶点， $P F_{1}$ 的延长线与椭圆相交于 $G$ ， $△ P G F_{2}$ 的周长为 $8$ ， $| P F_{1} | = 3 | G F_{1} |$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过椭圆 $E$ 外一点 $A$ 作矩形 $A B C D$ ，使椭圆 $E$ 与矩形 $A B C D$ 的四条边都相切，求矩形 $A B C D$ 面积的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - b x - 1$ ，其中 $a ， b \in R$ ， $e = 2.71828 \dots$ 为自然对数的底数.
（Ⅰ）设 $g (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，求函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上的最小值；

（Ⅱ）若 $f (1) = 0$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 1)$ 内有零点，求 $a$ 的取值范围

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