2021年高考理数真题试卷（全国乙卷）

试卷更新日期：2021-06-08 类型：高考真卷

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设2（z+ $\bar{z}$ ）+3(z- $\bar{z}$ )=4+6i，则z=（）.

A、1-2i B、1+2i C、1+i D、1-i

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2. 已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=（）

A、 $\emptyset$ B、S C、T D、Z

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3. 已知命题p： $\exists$ x∈R，sinx＜1；命题q： $\forall$ x∈R， e^|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（）

A、p $\land$ q B、 $\neg$ p $\land$ q C、p $\land \neg$ q D、 $\neg$ (pVq)

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4. 设函数f(x)= $\frac{1 - x}{1 + x}$ ，则下列函数中为奇函数的是（）

A、f(x-1)-1 B、f(x-1)+1 C、f(x+1)-1 D、f(x+1)+1

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5. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为B₁D₁的中点，则直线PB与AD₁所成的角为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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6. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）

A、60种 B、120种 C、240种 D、480种

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7. 把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数y=sin(x- $\frac{π}{4}$ )的图像，则f(x)=（）

A、sin( $\frac{x}{2} - \frac{7 π}{12}$ ) B、sin( $\frac{x}{2} + \frac{π}{12}$ ) C、sin( $2 x - \frac{7 π}{12}$ ) D、sin( $2 x + \frac{π}{12}$ )

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8. 在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于 $\frac{7}{4}$ 的概率为（）

A、 $\frac{7}{4}$ B、 $\frac{23}{32}$ C、 $\frac{9}{32}$ D、 $\frac{2}{9}$

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9. 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高。如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（）.

A、 $\frac{表高 \times 表距}{表目距的差} + 表高$ B、 $\frac{表高 \times 表距}{表目距的差} - 表高$ C、 $\frac{表高 \times 表距}{表目距的差} + 表距$ D、 $\frac{表高 \times 表距}{表目距的差} - 表距$

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10. 设a≠0，若x=a为函数 $f (x) = a {(x - a)}^{2} (x - b)$ 的极大值点，则（）

A、a＜b B、a＞b C、ab＜a² D、ab＞a²

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11. 设B是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足 $| PB | \leq 2 b$ ，则C的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)$ B、 $[\frac{1}{2}, 1)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、 $(0, \frac{1}{2}]$

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12. 设 $a = 2 \ln 1.01$ ， $b = \ln 1.02$ ， $c = \sqrt{1.04} - 1$ ，则（）

A、a＜b＜c B、b＜c＜a C、b＜a＜c D、c＜a＜b

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1$ （m>0）的一条渐近线为 $\sqrt{3} x$ +my=0，则C的焦距为.

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14. 已知向量 $\vec{a}$ =（1，3），b=（3，4），若（ $\vec{a}$ -λ $\vec{b}$ ）⊥ $\vec{b}$ ，则λ=。

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15. 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 $\sqrt{3}$ ，B=60°，a²+c²=3ac，则b=.

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16. 以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.

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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17. 某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备	9.8	10.3	10.0	10.2	9.9	9.8	10.0	10.1	10.2	9.7
新设备	10.1	10.4	10.1	10.0	10.1	10.3	10.6	10.5	10.4	10.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 $\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ ，样本方差分别记为s₁²和s₂²

(1)、求

\bar{x}

，

\bar{y}

， s₁² ， s₂²；

(2)、判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果

\bar{y}

\bar{x}

≥

2 \sqrt{\frac{s_{1}^{2} + s_{2}^{2}}{2}}

，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.

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18. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM，

(1)、求BC；

(2)、求二面角A-PM-B的正弦值。

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19. 记S_n为数列{a_n}的前n项和，b_n为数列{S_n}的前n项积，已知 $\frac{2}{S_{n}} + \frac{1}{b_{n}}$ =2.

(1)、证明：数列{b_n}是等差数列；

(2)、求{a_n}的通项公式.

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20. 设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。

(1)、求a；

(2)、设函数g（x）= $\frac{x + f （ x ）}{x f （ x ）}$ ，证明：g（x）＜1.

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21. 已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x²+（y+4）²=1上点的距离的最小值为4.

(1)、求p；

(2)、若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 $Δ$ PAB的最大值.

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四、［选修4一4：坐标系与参数方程］

22. 在直角坐标系xOy中， $⊙$ C的圆心为C（2，1），半径为1.

(1)、写出 $⊙$ C的一个参数方程；

(2)、过点F（4，1）作 $⊙$ C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.

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五、[选修4一5：不等式选讲]

23. 已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|.

(1)、当a=1时，求不等式f（x）≥6的解集；

(2)、若f（x）≥-a，求a的取值范围.

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