山东省日照市2021届高三下学期数学5月校际联合考试试卷

试卷更新日期：2021-06-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | (x + 1) (x - 4) < 0}$ ， $B = {x | 0 < x < 9}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0 ， 4)$ B、 $(4 ， 9)$ C、 $(- 1 ， 4)$ D、 $(- 1 ， 9)$

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2. 若复数z满足 $i z = 2 + 3 i$ ，则 $z$ 的实部与虚部之和为（）

A、-1 B、1 C、-2 D、3

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3. 若 $α$ 为第二象限角，则（）

A、 $\sin α - \cos α < 0$ B、 $\tan α < 0$ C、 $\sin (\frac{π}{2} + 2 α) > 0$ D、 $\cos (π - 2 α) > 0$

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4. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量 $E$ （单位：焦耳）与地震里氏震级 $M$ 之间的关系为 $\lg E = 4.8 + 1.5 M$ .据此推断2008年5月12日我国四川省汶川地区发生里氏8.0级地震所释放的能量是今年9月30日台湾省宜兰县海域发生里氏5.0级地震所释放的能量的（）倍.

A、 $\lg 4.5$ B、4.5 C、450 D、 $10^{4.5}$

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5. $(x - 1) {(x - 2)}^{6}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、80 B、-80 C、400 D、-400

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6. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \ln x + x$ ，则 $a = f (- 2^{\frac{3}{2}}), b = f (\log_{2} 9), c = f (\sqrt{5})$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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7. 已知 $F$ 是抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ 的焦点， $x = - 2$ 是抛物线 $C$ 的准线，点 $N (0 ， t)$ （ $t \neq 0$ ）连接 $F N$ 交抛物线 $C$ 于 $M$ 点， $\vec{M N} + \vec{M F} = \vec{0}$ ，则 $△ O F N$ 的面积为（）

A、6 B、3 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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8. 在棱长为 $\sqrt{3} + 1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，球 $O_{1}$ 同时与以 $B$ 为公共顶点的三个面相切，球 $O_{2}$ 同时与以 $D_{1}$ 为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点 $E$ ，若球 $O_{1}$ ， $O_{2}$ 的半径分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ，则（）

A、 $O_{1} B = \sqrt{2} r_{1}$ B、 $r_{1} + r_{2} = 6$ C、这两个球的体积之和的最小值是 $\sqrt{3} π$ D、这两个球的表面积之和的最小值是 $4 π$

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二、多选题

9. 已知 $m$ ， $n$ 是两条不重合的直线， $α$ ， $β$ 是两个不重合的平面，则（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ α$ ，则 $m // n$ B、若 $m // α$ ， $n // α$ ，则 $m // n$ C、若 $m // α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m // α$ ， $n // β$ ，则 $m ⊥ n$

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10. 我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始，已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法正确的是（）

A、小寒比大寒的晷长长一尺 B、春分和秋分两个节气的晷长相同 C、小雪的晷长为一丈五寸 D、立春的晷长比立秋的晷长长

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11. 若函数 $f (x) = A \sin (2 x + φ)$ （ $A > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是（）

A、 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 图像的一个对称中心 B、两数 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 的图像可由 $y = A \sin 2 x$ 的图像向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得到

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 是其左、右顶点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是其左、右焦点， $P$ 是双曲线上异于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 的任意一点，下列结论正确的是（）

A、 $| | P F_{1} | - | P F_{2} | | = 2 a$ B、直线 $P A_{1}$ ， $P A_{2}$ 的斜率之积等于定值 $\frac{b^{2}}{a^{2}}$ C、使得 $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形的点 $P$ 有且仅有8个 D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{b^{2}}{\tan \frac{∠ A_{1} P A_{2}}{2}}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sin \frac{π x}{6} ， x \leq 0 \\ \log_{3} x ， x > 0 \end{array}$ ，则 $f (f (\frac{1}{3})) =$ ．

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14. 已知点 $(a, b)$ 在直线 $x + 4 y = 4$ 上，当 $a > 0$ ， $b > 0$ 时， $\frac{4}{a} + \frac{9}{b}$ 的最小值为．

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15. 已知定义在 $R$ 上函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ）振幅为2，满足 $x_{2} - x_{1} = 2$ ，且 $f (x_{2}) = f (x_{1}) = \sqrt{3}$ ．则 $(0 ， 102)$ 上 $f (x)$ 零点个数最少为．

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16. 牛顿迭代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在 $17$ 世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法，具体步骤如下：设 $r$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个零点，任意选取 $x_{0}$ 作为 $r$ 的初始近似值，过点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{1}$ ，设 $l_{1}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{1}$ ，并称 $x_{1}$ 为 $r$ 的1次近似值；过点 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{2}$ ，设 $l_{2}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{2}$ ，称 $x_{2}$ 为 $r$ 的2次近似值，过点 $(x_{n} ， f (x_{n})) (n \in N^{*})$ 作曲线 $y = f (x)$ 的切线 $l_{n + 1}$ ，记 $l_{n + 1}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_{n + 1}$ ，并称 $x_{n + 1}$ 为 $r$ 的 $n + 1$ 次近似值，设 $f (x) = x^{3} + 2 x - 2 (x \geq 0)$ 的零点为 $r$ ，取 $x_{0} = 0$ ，则 $r$ 的2次近似值为：设 $a_{n} = \frac{3 x_{n}^{3} + 2 x_{n}}{2 x_{n}^{3} + 2} (n \in N^{*})$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ．若任意的 $n \in N^{*}$ ， $T_{n} < λ$ 恒成立，则整数 $λ$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 向量 $\vec{m} = (2 \sin x ， \sqrt{3})$ ， $\vec{n} = (\cos x ， \cos 2 x)$ ，已知函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ ，

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和单调递减区间；

(2)、 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，其中 $a = 7$ ，若锐角 $A$ 满足 $f (\frac{A}{2} - \frac{π}{6}) = \sqrt{3}$ ，且 $\sin B + \sin C = \frac{13 \sqrt{3}}{14}$ ，求 $b + c$ 的值．

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18. 青少年身体健康事关国家民族的未来，某校为了增强学生体质，在课后延时服务中增设800米跑活动，据统计，该校800米跑优秀率为3%．为试验某种训练方式，校方决定，从800米跑未达优秀的学生中选取10人进行训练，试验方案为：若这10人中至少有2人达到优秀，则认为该训练方式有效；否则，则认为该训练方式无效．

(1)、如果训练结束后有5人800米跑达到优秀，校方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解训练的情况，记抽到800米跑达到优秀的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(2)、如果该训练方式将该校800米跑优秀率提高到了50%，求通过试验该训练方式被认定无效的概率 $p$ ，并根据 $p$ 的值解释该试验方案的合理性．
（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - 9$ ，且 $\frac{a_{n + 1}}{2}$ 是 $2$ 与 $a_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ）的等差中项．

(1)、求数列 ${| a_{n} |}$ 的前 $n$ 项和 $G_{n}$ ；

(2)、设 $T_{n} = a_{1} a_{2} a_{3} \cdot \cdot \cdot a_{n}$ ，判断数列 ${T_{n}}$ 是否存在最大项和最小项？若存在求出，不存在说明理由．

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20. 如图，在多面体 $A B C D E$ 中，四边形 $B C D E$ 是矩形， $△ A D E$ 为等腰直角三角形，且 $∠ A D E = 90 °$ ， $\frac{1}{2} A B = A D = \sqrt{2}$ ， $B E = 2$ ．

(1)、求证：平面 $A D E ⊥$ 平面 $A B E$ ；

(2)、线段 $C D$ 上存在点 $P$ ，使得二面角 $P - A E - D$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ ，试确定点 $P$ 的位置并证明．

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）经过点 $P (\sqrt{2}, 1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ． $⊙ O$ ： $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 的任意一切线 $l$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、是否存在 $⊙ O$ ，使得 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，若存在，求 $△ A O B$ 的面积 $S$ 的范围；不存在，请说明理由．

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{6} x^{3} + a x \ln x - (a + \frac{1}{2}) x$ ．

(1)、若 $a \geq 0$ 讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a \geq - 1$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的极值点个数．

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