广东省珠海市2021届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | {0.7}^{x} > 1, x \in R}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 2 < 0, x \in R}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, 1)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(- 1, 2)$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 1 - i$ ， $z$ 对应复平面内的点 $Z$ ，则 $| \vec{O Z} | =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 已知 $a, b \in R$ ，满足 $a b < 0$ ， $a + b > 0$ ， $a > b$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 0$ C、 $a^{2} > b^{2}$ D、 $a < | b |$

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4. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 1$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 3$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、3 B、 $\sqrt{3}$ C、7 D、 $\sqrt{7}$

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5. 5位医生被分配到4个接种点承担接种新冠疫苗工作，每个医生只能去一个接种点，每个接种点至少有一名医生，其中医生甲不能单独完成接种工作，则共有（）种不同的分配方法

A、24 B、48 C、96 D、12

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6. 函数 $f (x) = \sin x - x \cos x$ 的图像为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 设数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $a_{3} + a_{5} = 10$ ， $S_{5} = 15$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、18 B、30 C、36 D、24

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8. 《九章算术》勾股章有一问题：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有三尺，牵着绳索退行，拉直绳索，绳索头与地面接触点离木柱根部八尺处时绳索用尽，现从该绳索上任取一点，该点取自木柱中点上方的概率为（）

A、 $\frac{55}{73}$ B、 $\frac{55}{146}$ C、 $\frac{11}{15}$ D、 $\frac{55}{72}$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = - x^{2} \ln x$ ，则（）

A、 $f (x) \leq 0$ 恒成立 B、 $f (x)$ 是 $(0 ， + \infty)$ 上的减函数 C、 $f (x)$ 在 $x = e^{- \frac{1}{2}}$ 得到极大值 $\frac{1}{2 e}$ D、 $f (x)$ 只有一个零点

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10. 已知函数 $f (x) = \cos^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - \sin^{2} x$ ，则（）

A、 $π$ 是函数 $f (x)$ 的一个周期 B、 $x = - \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 的一条对称轴 C、函数 $f (x)$ 的一个增区间是 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6})$ D、把函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图像向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，得到函数 $f (x)$ 的图像

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11. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $A C = 4$ ， $A$ 到平面 $P B C$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ，则（）

A、 $P A = 4$ B、三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为 $32 π$ C、直线 $A B$ 与直线 $P C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{16}$ D、 $A B$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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12. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为1的线段 $A B$ 上取两个点 $C$ 、 $D$ ，使得 $A C = D B = \frac{1}{4} A B$ ，以 $C D$ 为边在线段 $A B$ 的上方做一个正方形，然后擦掉 $C D$ ，就得到图形2；对图形2中的最上方的线段 $E F$ 作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，图2，图3，…，图 $n$ ，各图中的线段长度和为 $a_{n}$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、数列 ${a_{n}}$ 是等比数列 B、 $S_{10} = \frac{6657}{256}$ C、 $a_{n} < 3$ 恒成立 D、存在正数 $m$ ，使得 $S_{n} < m$ 恒成立

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三、填空题

13. 若 ${(x - \frac{a}{\sqrt{x}})}^{8} (a > 0)$ 的二项展开式中二项式系数最大项为 $5670 x^{2}$ ，则a=.

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14. 已知某校期末考试数学平均分 $X \sim N (75, 100)$ ，则 $P (65 < x < 95) =$ .
附： $P (μ - σ \leq X < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ \leq X < μ + 2 σ) = 0.9545$

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15. 设圆锥曲线 $C$ 的两个焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $P$ 为曲线 $C$ 上一点， $| P F_{1} | : | P F_{2} | : | F_{1} F_{2} | = 5 : 4 : 2$ ，则曲线 $C$ 的离心率为.

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16. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $E$ 为平面 $A A_{1} C_{1} C$ 内的动点， $B_{1} E = 2$ ，则 $A E$ 长度的最小值为.

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四、解答题

17. 在① $3 \cos 2 B - \cos C = 1$ ；② $\tan \frac{C}{2} = \tan B$ ；③ $\sin B + \sqrt{3} \sin C = 2$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.

问题：如图，直角 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{2}$ ， $B C = 4$ ，且 ▲ ，点 $D$ 在 $B C$ 的延长线上， $C D = 1$ ，求 $A D$ 长.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 1$ ， $a_{4} = 2 a_{2} + a_{3}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项 $a_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = a_{n}^{2} \cos \frac{n π}{2}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前40项和 $S_{40}$ .

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19. 如图，圆柱 $O O_{1}$ ，矩形 $A B B_{1} A_{1}$ 为过轴 $O O_{1}$ 的圆柱的截面，点 $C ， C_{1}$ 为弧 $A B ， A_{1} B_{1}$ 的中点，点 $D$ 为 $C C_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $O_{1} D //$ 平面 $A B_{1} C$ ；

(2)、若 $B B_{1} = 2$ ，三棱锥 $B_{1} - A B C$ 的体积为 $\frac{2}{3}$ ，求二面角 $C - A B_{1} - B$ 的余弦值.

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20. 现有甲乙两个项目，对甲、乙两个项目分别投资202万元，甲项目一年后利润是1万元、2万元、3万元的概率分别是 $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{3}$ 、 $\frac{1}{6}$ ；乙项目的利润随乙项目的价格变化而变化，乙项目在一年内，价格最多可进行两次调整，每次调整的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，设乙项目一年内价格调整次数为 $X$ ， $X$ 取0、1、2时，一年后利润分别是3万元、2万元、1万元.设 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 分别表示对甲、乙两个项目各投资20万元一年后的利润.

(1)、写出 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 的概率分布列和数学期望；

(2)、当 $E (y_{1}) > E (y_{2})$ 时，求 $p$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = (x + 1) e^{x} + m x + 3 n \cos x + 3 (m ， n \in R)$ .

(1)、 $m > 0$ ， $n = 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的导数 $f^{'} (x)$ 的单调性；

(2)、 $n = - 1$ 时，不等式 $f (x) \geq \frac{1}{3} m x + 1$ 对 $x \geq 0$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且 $a b = 2$ .

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的方程；

(2)、已知点 $B ， A$ 为椭圆 $C_{1}$ 的左､右顶点，点 $P$ 为椭圆 $C_{1}$ 上不同于A､ $B$ 的任一点，在抛物线 $C_{2} ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上存在两点 $Q ， R$ ，使得四边形 $A Q P R$ 为平行四边形，求 $p$ 的最小值.

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