广东省湛江市2021届高三下学期数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{1 - 5 i}{1 - i}$ ，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、2 B、-2 C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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2. 已知 $a > b$ ，则（）

A、 $\ln a > \ln b$ B、 $a^{2} > b^{2}$ C、 $2^{a} > 2^{b}$ D、 $a^{- 1} > b^{- 1}$

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3. ${(1 + 3 x)}^{2} + {(1 + 2 x)}^{3} + {(1 + x)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}$ ，则 $a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} =$ （）

A、49 B、56 C、59 D、64

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4. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为 $2 \sqrt{3}$ 的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（）

A、16 B、 $16 \sqrt{3}$ C、 $18 \sqrt{3}$ D、21

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5. 函数 $f (x) = \frac{2^{x} - 2^{- x}}{x^{2} + 1}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 在 $∠ A = 90 °$ 的等腰直角 $△ A B C$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $B C$ 的中点， $\vec{B C} = λ \vec{A F} + μ \vec{C E}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- \frac{3}{2}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、-1

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7. 已知 $F$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点，过椭圆 $C$ 的下顶点且斜率为 $\frac{3}{4}$ 的直线与以点 $F$ 为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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8. 已知函数 $f (x) = x^{2} e^{1 - x} - a$ 有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{2}{e})$ B、 $(0 ， \frac{4}{e})$ C、 $(0 ， \frac{2}{e^{2}})$ D、 $(0 ， \frac{4}{e^{2}})$

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二、多选题

9. 某学校组织学生参加劳动实践，学生需要手工制作一种模具，劳动实践结束后，学校任选了一个班级，统计了该班每人制作的合格品个数，其结果用茎叶图记录如下：

由以上统计结果，下列判断正确的是（）

A、男生制作合格品个数的方差更大 B、女生制作合格品个数的分布更接近正态分布. C、男生制作合格品个数的分布更接近正态分布 D、该班女生制作合格模具的平均能力要低于男生

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10. 已知集合 $A = {x \in R | x^{2} - 3 x - 18 < 0}$ ， $B = {x \in R | x^{2} + a x + a^{2} - 27 < 0}$ ，则下列命题中正确的是（）

A、若 $A = B$ ，则 $a = - 3$ B、若 $A \subseteq B$ ，则 $a = - 3$ C、若 $B = \emptyset$ ，则 $a \leq - 6$ 或 $a \geq 6$ D、若 $B ⊊ A$ 时，则 $- 6 < a \leq - 3$ 或 $a \geq 6$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{\cos 2 x}{1 + \sin x}$ ，则（）

A、 $f (x + π) = f (- x)$ B、 $f (x)$ 的最大值为 $4 - 2 \sqrt{2}$ C、 $f (x)$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{2}$

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12. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} = 1$ ， $\frac{1}{a_{n + 1} \cdot a_{n}} = 2^{n}$ ，则（）

A、数列 ${a_{n}}$ 是等比数列 B、 $a_{n + 1} \leq a_{n}$ 恒成立 C、 $S_{n} < 3$ 恒成立 D、 $S_{n} \leq 2$ 恒成立

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三、填空题

13. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P$ 是双曲线 $C$ 上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{2}$ ， $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $a^{2}$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为.

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14. 现有5个参加演讲比赛的名额，要分配给甲、乙、丙三个班级，要求每班至少要分配一个名额，则甲班恰好分配到两个名额的概率为.

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15. 在三棱锥 $D - A B C$ 中， $△ A B C$ 是以 $∠ A$ 为直角的等腰直角三角形， $△ D B C$ 是边长为2的等边三角形，二面角 $A - B C - D$ 的余弦值为 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，则三棱锥 $D - A B C$ 的外接球的表面积为.

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16. 写出一个以 $(1 ， 0)$ 为对称中心的偶函数，该函数的最小正周期是.

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四、解答题

17. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = \frac{5 π}{6}$ ， $∠ A D C = \frac{π}{4}$ ， $A B = 2 A C = 2 \sqrt{2}$ ， $C D = 1$ .

(1)、求 $\cos ∠ A C D$ 的值；

(2)、求BC 的值.

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18. 已知：数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{n + 2} = 4 a_{n + 1} - 4 a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、证明数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = 3$ ， $B C = 2$ ， $E$ ， $P$ 分别是 $B_{1} C_{1}$ 和 $C C_{1}$ 的中点，点 $F$ 在棱 $A_{1} B_{1}$ 上，且 $B_{1} F = 2$ .

(1)、证明： $A_{1} P //$ 平面 $E F C$ ；

(2)、若 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A B ⊥ B C$ ，求二面角 $P - C F - E$ 的余弦值.

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20. 某高三学生小明准备利用暑假的7月和8月勤工俭学，现有“送外卖员”和“销售员”两份工作可供其选择.已知“销售员”工作每日底薪为50元，每日销售的前5件每件奖励20元，超过5件的部分每件奖励30元.小明通过调查，统计了100名销售员1天的销售记录，其柱状图如图1；“送外卖员”没有底薪，收入与送的单数相关，在一日内：1至20单（含20单）每送一单3元，超过20单且不超过40单的部分每送一单4元，超过40单的部分，每送一单4.5元.小明通过随机调查，统计了100名送外卖员的日送单数，并绘制成如下直方图（如图2）.

(1)、分别求出“销售员”的日薪 $y_{1}$ （单位：元）与销售件数 $x_{1}$ 的函数关系式、“送外卖员”的日薪 $y_{2}$ （单位：元）与所送单数 $x_{2}$ 的函数关系式；

(2)、若将频率视为概率，根据统计图，试分别估计“销售员”的日薪 $X_{1}$ 和“送外卖员”的日薪 $X_{2}$ （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）的数学期望，分析选择哪种工作比较合适，并说明你的理由.

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21. 设抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过点 $P (0, 4)$ 的动直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，当 $F$ 在 $l$ 上时，直线 $l$ 的斜率为-2.

(1)、求抛物线的方程；

(2)、在线段 $A B$ 上取点 $D$ ，满足 $\vec{P A} = λ \vec{P B}$ ， $\vec{A D} = λ \vec{D B}$ ，证明：点 $D$ 总在定直线上.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a \cos x - \sqrt{2} x - 2$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.

(1)、讨论 $f^{'} (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 内极值点的个数；

(2)、若 $x \in [- \frac{π}{2} ， 0]$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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