北京市昌平区2021届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2, - 1, 0, 1, 2}$ ， $B = {x | x^{2} \geq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1}$ B、 ${- 2, - 1, 1, 2}$ C、 ${x | - 1 \leq x \leq 1}$ D、 ${x | x \leq - 1$ 或 $x \geq 1}$

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2. 已知复数 $z = i (1 - 2 i)$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、2 B、1 C、-1 D、-2

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3. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（）

A、24 B、36 C、54 D、108

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，则其渐近线方程为（）

A、 $y = \pm x$ B、 $y = \pm \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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5. 下列函数中，最小正周期为 $π$ 的奇函数是（）

A、 $y = \sin (x + \frac{π}{4})$ B、 $y = \sin | x |$ C、 $y = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ D、 $y = \sin x \cos x$

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6. 过原点且倾斜角为45°的直线被圆 $x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ 所截得的弦长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、 $4 \sqrt{2}$ D、8

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7. 设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为非零向量，则“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”是“ $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则.例如《周髀算经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至. 已知《周髀算经》中记录某年的冬至的晷影长为13尺，夏至的晷影长是1.48尺，按照上述规律，那么《周髀算经》中所记录的立夏的晷影长应为（）

A、3.4尺 B、4.36尺 C、5.32尺 D、21.64尺

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9. 将函数 $f (x) = \sin ω x$ （ $ω > 0$ ）的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，所得图象经过点 $(\frac{2π}{3}, 0)$ ，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、2 C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{13}{4}$

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10. 已知棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $M$ 是 $B B_{1}$ 的中点，动点 $P$ 在正方体内部或表面上，且 $M P / /$ 平面 $A B D_{1}$ ，则动点 $P$ 的轨迹所形成区域的面积是（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、2

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二、填空题

11. 已知向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，则 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | =$ .

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12. 在 ${(x - 2)}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为 .（用数字作答）

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13. 下图是国家统计局发布的2020年2月至2021年2月全国居民消费价格涨跌幅折线图；则给出下列三个结论：①2020年11月居民消费价格低于2019年同期；②2020年3月至7月居民的消费价格持续增长；③2020年7月的消费价格低于2020年3月的消费价格.其中所有正确结论的序号是.

说明：⒈在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2021年2月与2020年2月相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2020年4月与2020年3月相比较.

⒉同比增长率= $\frac{本期数 - 同期数}{同期数}$ $\times 100 %$ ，环比增长率= $\frac{本期数 - 上期数}{上期数}$ $\times 100 %$ .

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14. 在 $△ A B C$ 中， $a = 2 \sqrt{7},$ $b = 2$ ， $∠ A = 60 °$ ，则 $c =$ ； $\frac{\sin 2 A}{\sin C} =$ .

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15. 已知抛物线 $C :$ $y^{2} = 4 x$ 与椭圆 $D : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 有一个公共焦点 $F$ ，则点 $F$ 的坐标是；若抛物线的准线与椭圆交于 $A, B$ 两点， $O$ 是坐标原点，且 $△ A O B$ 是直角三角形，则椭圆 $D$ 的离心率 $e =$ .

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三、解答题

16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，从条件①、条件②和条件③中选择两个作为已知，并完成解答.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{2} = a_{4}$ ， $b_{3} = a_{7}$ ，求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .
条件①： $a_{1} = - 3$ ；条件②： $a_{n + 1} - a_{n} = 2$ ；条件③： $S_{2} = - 4$ .

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17. 某大学为了解学生对

A ， B

两本数学图书的喜好程度，从这两本数学图书都阅读过的生中随机抽取了50人，分别对这两本图书进行评分反馈，满分为100分，得到的相应数据整理如下表：

分数	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100]$
A图书频数	2	2	8	20	18
B图书频数	2	10	10	12	16

学生对图书的“评价指数”如下表：

分数	$[50 ， 70)$	$[70 ， 90)$	$[90 ， 100]$
评价指数	1	2	3

(1)、从

A ， B

两本图书都阅读过的学生中任选1人，试估计其对

A

图书“评价指数”为2的概率；

(2)、从对

B

图书“评价指数”为1的学生中任选3人进一步访谈，设

X

为3人中评分在

[50 ， 60)

内的人数，求随机变量

X

的分布列及数学期望；

(3)、试估计学生更喜好

A ， B

哪一本图书，并简述理由.

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18. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是平行四边形， $A D ⊥ D B$ ， $A A_{1} = A D = \frac{1}{2} A B = 1$ .

(1)、求证： $A D ⊥ B D_{1}$ ；

(2)、求二面角 $A_{1} - B C - A$ 的大小；

(3)、在线段 $B D_{1}$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $D M ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ?若存在，求 $\frac{D_{1} M}{D_{1} B}$ 的值；若不存在，说明理由.

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19. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (0, 1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、设直线 $l : y = k x + m$ 与椭圆C有两个不同的交点 $A, B$ ，当 $| P A | = | P B |$ 时，求实数k的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} + 1$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \geq 2$ 对于任意的 $x \in [0 ， 1]$ 都成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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21. 对于有限数列 ${a_{n}}$ ， $n \leq N$ ， $N \geq 3$ ， $N \in N^{*}$ ，定义：对于任意的 $k \leq N$ ， $k \in N^{*}$ ，有（1） $S^{*} (k) = | a_{1} | + | a_{2} | + | a_{3} | + \dots + | a_{k} |$ ；（2）对于 $c \in R$ ，记 $L (k) = | a_{1} - c | + | a_{2} - c | + | a_{3} - c | + \dots + | a_{k} - c |$ .对于 $k \in N^{*}$ ，若存在非零常数 $c$ ，使得 $L (k) = S^{*} (k)$ ，则称常数 $c$ 为数列 ${a_{n}}$ 的 $k$ 阶 $ω$ 系数.

(1)、设数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = {(- 2)}^{n}$ ，计算 $S^{*} (4)$ ，并判断2是否为数列的4阶 $ω$ 系数；

(2)、设数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 3 n - 39$ ，且数列 ${a_{n}}$ 的 $m$ 阶 $ω$ 系数为3，求 $m$ 的值；

(3)、设数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，满足-1，2均为数列 ${a_{n}}$ 的 $m$ 阶 $ω$ 系数，且 $S^{*} (m) = 507$ ，求 $m$ 的最大值.

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