江苏省苏州市昆山、太仓、苏州园三2020-2021学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-06-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 2021年江苏省实行“3+1+2”新高考模式，学生选科时语文､数学､英语三科必选，物理､历史两科中选择1科，政治､地理､化学､生物四科中选择2科，则学生不同的选科方案共有（）

A、6种 B、12种 C、18种 D、24种

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2. 在 ${(a x^{3} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{7}$ 的展开式中，若常数项为21，则a=（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、3 D、4

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3. 已知函数 $f (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， 0)$ 处的切线方程为（）

A、 $y = x + 2$ B、 $y = - x + 2$ C、 $y = x - 2$ D、 $y = - x - 2$

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4. 已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 m x^{2} + m^{2} x$ 在x=1处取得极大值，则m的值为（）

A、1 B、3 C、1或3 D、2或-2

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5. 一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A､B､C三个景点及沿途风景，则不重复（除交汇点O外）的不同游览线路有（）

A、6种 B、8种 C、12种 D、48种

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6. 函数 $f (x)$ 的图象如图所示， $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，下列排序正确是（）

A、 $f (a + 1) - f (a) < f^{'} (a) < f^{'} (a + 1)$ B、 $f^{'} (a + 1) < f^{'} (a) < f (a + 1) - f (a)$ C、 $f^{'} (a + 1) < f (a + 1) - f (a) < f^{'} (a)$ D、 $f^{'} (a) < f (a + 1) - f (a) < f^{'} (a + 1)$

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7. ${(3 x + 2 y + z)}^{5}$ 展开式中 $x y^{3} z$ 项的系数为（）

A、120 B、240 C、360 D、480

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8. 已知函数 $f (x) = a e^{- x} - x - a$ 在 $x \in [0 ， 1]$ 上有两个零点，则a的取值范是（）

A、 $[\frac{e}{1 - e} ， - 1]$ B、 $[\frac{e}{1 - e} ， 1)$ C、 $[\frac{e}{1 - e} ， - 1)$ D、 $[- 1 ， e)$

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二、多选题

9. 直线y=2x+m能作为下列函数图象的切线的有（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x}$ B、 $f (x) = x^{4}$ C、 $f (x) = \sin x$ D、 $f (x) = e^{x}$

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10. 对于 $m \leq n, m, n \in N,$ 关于下列排列组合数，结论正确的是（）

A、 $C_{n}^{m} = C_{n}^{n - m}$ B、 $C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m - 1} + C_{n}^{m}$ C、 $A_{n + 1}^{m + 1} = (m + 1) A_{n}^{m}$ D、 $(n + 1) C_{n}^{m} = (m + 1) C_{n + 1}^{m + 1}$

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11. 一袋中装有10个大小相同的小球，其中6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，4个白球，编号为7，8，9，10，下列结论中正确的是（）

A、若有放回地摸取4个球，则取出的球中白球个数X服从二项分布 B、若一次性地摸取4个球，则取出的球中白球个数Y服从超几何分布 C、若一次性地取4个球，则取到2个白球的概率为 $\frac{1}{14}$ D、若一次性地摸取4个球，则取到的白球数大于黑球数的概率为 $\frac{5}{42}$

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12. 已知函数 $y = f (x) ， x \in (0 ， \frac{π}{2}) ， f^{'} (x)$ 是其导函数，恒有 $\frac{f^{'} (x)}{\sin x} > \frac{f (x)}{\cos x}$ ，则（）

A、 $f (\frac{π}{3}) > \sqrt{2} f (\frac{π}{4})$ B、 $f (\frac{π}{4}) > \frac{\sqrt{2}}{2} f (\frac{π}{6})$ C、 $f (\frac{π}{6}) < 2 \cos 1 \cdot f (1)$ D、 $f (\frac{π}{3}) > 2 \cos 1 \cdot f (1)$

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三、填空题

13. 已知曲线 $y = e^{x + m} + n$ 的切线为 $y = x - 1$ ，则一组满足条件的m，n的取值为.

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14. 用X，Y，Z三个不同的元件连接成如图系统，毎个元件是否正常工作相互独立，已知X，Y，Z正常工作的概率均为 $\frac{1}{3}$ ，则系统正常工作的概率为.

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15. 若 ${(1 + x)}^{10} = \sum_{i = 0}^{10} a_{i} {(1 - x)}^{i}$ ，则 $a_{9} =$ .

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16. 正方体六个上分别标有A，B，C，D，E，F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有种.(用数字作答)

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四、解答题

17. 一个实验箱中装有标号为1，2，3，4，5的5只白鼠，若从中任取2只，记取到的2只白鼠中标号较大的为X，求随机变量X的分布列.

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18. 将四个编号为1,2,3,4的相同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，

(1)、若每个盒子放一个小球，求有多少种放法;

(2)、若每个盒子放一球，求恰有1个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数；

(3)、求恰有一个空盒子的放法种数．

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19. 已知 $f (n) = a_{1} + a_{2} C_{n}^{1} + \dots + a_{^{r}} C_{n}^{r - 1} + \dots a_{n + 1} C_{n}^{n} (n \in N^{*}) .$

(1)、若 $a_{n} = n - 1$ ，求 $f (n)$ ；

(2)、若 $a_{n} = 3^{n - 1}$ ，求 $f (20)$ 除以5的余数

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20. 已知函数 $f (x) = x \cos x - \sin x .$

(1)、当 $x \in [0 ， 2 π]$ ，求 $f (x)$ 的最大值与最小值；

(2)、对于 $\forall x_{1} ， x_{2} \in (0 ， π)$ ，若 $x_{1} < x_{2}$ ，证明： $\frac{x_{1}}{x_{2}} < \frac{sin x_{1}}{sin x_{2}}$ .

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21. 核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验：若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为 $\frac{1}{4}$ .现用两种方案对4例疑似病例进行核酸检测.

(1)、方案一：4例逐个化验，设检测结果呈阳性的人数为X，求X的概率分布列；

(2)、方案二：4例平均分成两组化验，设需要检测的次数为Y，求Y的概率分布列.

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22. 函数 $f (x) = \ln x - m x + 2.$

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \leq (2 - x) (e^{x} + m - 1)$ 在 $x \in (0 ， 2]$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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