江苏省苏州市常熟市2020-2021学年高一下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-06-07 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z = (1 - i) (1 - 2 i)$ ，其中i是虚数单位，则z的虛部为（）

A、-3 B、3 C、 $- 3 i$ D、 $3 i$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 4 ， m)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直，则实数 $m =$ （）

A、2 B、-2 C、-8 D、8

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3. 已知 $α$ 为任意角，则“ $\cos 2 α = \frac{1}{3}$ ”是“ $\cos α = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 所对的边长分别是 $a ， b ， c$ ，设向量 $\vec{m} = (a + b ， \sin C)$ ， $\vec{n} = (\sqrt{3} a + c ， \sin B - \sin A)$ ，若 $\vec{m} // \vec{n}$ ，则角 $B$ 的大小为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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5. 如图，已知 $\vec{A B} = 3 \vec{B P}$ ，用 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 表示 $\vec{O P}$ ，则 $\vec{O P}$ 等于（）

A、 $\frac{1}{3} \vec{O A} - \frac{4}{3} \vec{O B}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{4}{3} \vec{O B}$ C、 $- \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{4}{3} \vec{O B}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{O A} - \frac{4}{3} \vec{O B}$

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6. 明朝早期，郑和在七下西洋的过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性应用于航海，形成了一套自成体系且行之有效的先进航海技术——“过洋牵星术”.简单地说，就是通过观测不同季节､时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位，其采用的主要工具为牵星板.由12块正方形木板组成，最小的一块边长约为2厘米(称一指).观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂垂直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下边缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，与其相切，依高低不同替换､调整木板，木板上边缘与被观测星辰重合时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为九指板，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $\frac{12}{35}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{17}$ C、 $\frac{8}{17}$ D、 $\frac{8}{15}$

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7. 已知 $\cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\sin (β - α) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $α$ ， $β$ 均为锐角，则 $β =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{8}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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8. 已知向量 $\vec{a} = (\cos 20 ° ， \cos 70 °)$ ， $\vec{b} = (\sin 10 ° ， \sin 80 °)$ ，若t是实数，且 $\vec{u} = \vec{a} + t \vec{b}$ ，则 $| \vec{u} |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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二、多选题

9. 已知复数z在复平面上对应的点为 $z (3, - 1)$ ， $i$ 为虚数单位，则下列正确的是（）

A、 $z = - 1 + 3 i$ B、 $| z | = 10$ C、 $\bar{z} = 3 + i$ D、 $z + i$ 是实数

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10. 已知m，n是实数， $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 为向量，则下列运算中正确的有（）

A、 $(m - n) \vec{a} = m \vec{a} - n \vec{a}$ B、若 $m \vec{a} = m \vec{b}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ D、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$

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11. 设函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4}) + \cos (2 x + \frac{π}{4})$ ，则 $f (x)$ （）

A、最大值为2 B、是偶函数 C、图象关于点 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 对称 D、在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上单调递增

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12. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幕减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ .现有 $△ A B C$ 满足 $\sin A ： \sin B ： \sin C = 2 ： 3 ： \sqrt{7}$ ，且 $△ A B C$ 的面积 $S_{△ ABC} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，请运用上述公式判断下列命题正确的是（）

A、 $△ A B C$ 周长为 $5 + \sqrt{7}$ B、 $△ A B C$ 三个内角A，C，B满足关系 $A + B = 2 C$ C、 $△ A B C$ 外接圆半径为 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$ D、 $△ A B C$ 中线CD的长为 $\frac{\sqrt{19}}{2}$

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三、填空题

13. 若复数 $z = \frac{3 - 4 i}{1 + 2 i}$ ，i为虚数单位，则 $| z | =$ .

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14. 若平面向量 $\vec{m}, \vec{n}$ 满足 $| \vec{m} | = 2$ ， $| \vec{n} | = 3$ ，且 $| 3 \vec{m} - 2 \vec{n} | = 6$ ，则 $\vec{m}$ 与 $\vec{n}$ 夹角的大小为.

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15. 中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为 $10 \sqrt{2}$ 米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）

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16. 如图，在菱形ABCD中， $A B = 3$ ， $∠ B A D = 60 °$ ，E，F分别为BC，CD上的点， $\vec{C E} = 2 \vec{E B}$ ， $\vec{C F} = 2 \vec{F D}$ ，若线段EF上存在一点M，使得 $\vec{A M} = \frac{1}{2} \vec{A B} + x \vec{A D} (x \in R)$ ，则 $x =$ ， $\vec{A M} \cdot \vec{B D} =$ .

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四、解答题

17. 已知复数 $z_{1} = a + 3 i$ ， $z_{2} = 2 - a i$ ( $a \in R$ ，i是虚数单位).

(1)、若 $z_{1} - \bar{z_{2}}$ 在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；

(2)、若虚数 $z_{1}$ 是实系数一元二次方程 $x^{2} - 6 x + m = 0$ 的根，求实数m的值.

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18. 阅读一下一段文字： ${(\vec{a} + \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$ ， ${(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = {\vec{a}}^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + {\vec{b}}^{2}$ ，两式相减得： ${(\vec{a} + \vec{b})}^{2} - {(\vec{a} - \vec{b})}^{2} = 4 \vec{a} \cdot \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{4} [{(\vec{a} + \vec{b})}^{2} - {(\vec{a} - \vec{b})}^{2}]$ ，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下问题：如图，在 $△ A B C$ 中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.

(1)、若 $A D = 6$ ， $B C = 4$ ，求 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的值；

(2)、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 4$ ， $\vec{F B} \cdot \vec{F C} = - 1$ ，求 $\vec{E B} \cdot \vec{E C}$ 的值.

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19. 在① $\frac{A N}{B N} = \sqrt{3}$ ，② $S_{△ A M N} = 4 \sqrt{3}$ ，③ $A C = A M$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.
问题：在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $c = 8$ ，点 $M$ ， $N$ 是 $B C$ 边上的两个三等分点， $\vec{B C} = 3 \vec{B M}$ ，______；

(1)、求 $A M$ 的长.

(2)、求 $△ A B C$ 外接圆半径.

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20. 亚洲第三大摩天轮“水城之眼”是聊城的地标建筑，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标.某数学课外活动小组为了测量摩天轮的最高点P距地面的高度，选取了与点P在地面上的射影A在同一水平面内的两个测量基点B，C(如图所示)；现测得 $∠ A B C = ∠ A C B = ∠ A C P = 30 °$ ，B，C两点间的距离是390米.

(1)、求最高点P距地面的高度PA；

(2)、若摩天轮最低点Q距地面的距离QA=20米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转动一周需要20分钟.从游客进入摩天轮位于最低点Q处的轿厢开始计时，转动t分钟后距离地面的高度为h米.若在摩天轮所在的平面内，以PQ的中点为坐标原点，PO所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求在转动一周的过程中，h(单位：米)关于t(单位：分钟)的函数解析式.

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21. 已知 $\vec{a} = (\cos \frac{x}{4} ， - \sin \frac{x}{4})$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} \cos \frac{x}{4} ， \cos \frac{x}{4})$ ， $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，将曲线 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 得到函数 $y = g (x)$ 的图象.

(1)、若 $f (α) = \frac{1}{2}$ ， $α \in [0 ， π]$ ，求 $\tan (α - \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、若不等式 $m \cos^{2} x - m \cdot g (π - 2 x) \leq m + 3$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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22. 已知O为坐标原点，对于函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a ， b)$ 为函数 $f (x)$ 的相伴特征向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的相伴函数.

(1)、设函数 $g (x) = \sin (x + \frac{5 π}{6}) - \sin (\frac{3 π}{2} - x)$ ，试求 $g (x)$ 的相伴特征向量 $\vec{O M}$ ；

(2)、记向量 $\vec{O N} = (1 ， \sqrt{3})$ 的相伴函数为 $f (x)$ ，求当 $f (x) = \frac{8}{5}$ 且 $x \in (- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6})$ ， $\sin x$ 的值；

(3)、已知 $A (- 2 ， 3)$ ， $B (2 ， 6)$ ， $\vec{O T} = (- \sqrt{3} ， 1)$ 为 $h (x) = m \sin (x - \frac{π}{6})$ 的相伴特征向量， $φ (x) = h (\frac{x}{2} - \frac{π}{3})$ ，请问在 $y = φ (x)$ 的图象上是否存在一点P，使得 $\vec{A P} ⊥ \vec{B P}$ .若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.

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