云南省红河州2021届高三理数三模试卷

试卷更新日期：2021-06-07 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 < 0, x \in N^{*}}$ ， $B = {- 1, 0, 1, 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1, 2}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${1, 2}$ D、 ${1, 2, 3}$

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2. 已知复数 $z = \frac{1 - i}{2 - i}$ ，i为虚数单位， $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $\frac{3}{5} - \frac{1}{5} i$ B、 $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} i$ C、 $- \frac{3}{5} + \frac{1}{5} i$ D、 $- \frac{3}{5} - \frac{1}{5} i$

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3. 已知 $\cos (α - \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (2 α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{7}{9}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $- \frac{8}{9}$

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4. 随着我国人民生活水平日益提高，餐饮消费在国民经济活动中的比重逐步加大.某机构统计了2014年至2020年（1月至11月）我国餐饮业销售收入的情况，得到下面的条形图，则下面说法中不正确的是（）

A、2014年至2019年，我国餐饮业销售收入逐年增加 B、2019年我国餐饮业销售收入较2018年的增量超过4000亿元，同比增长接近10% C、2020年受新冠肺炎疫情影响，我国餐饮业销售收入有所下滑 D、近年来，我国餐饮业销售收入同比增长率有上升趋势

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5. 下列说法中，正确的个数为（）
①若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是非零向量，则“ $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ”是“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角”的充要条件；

②命题“在△ $A B C$ 中，若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ ”的逆否命题为真命题；

③已知命题 $p$ ： $\exists x_{0} \in R ， x_{0}^{2} + x_{0} + 2 \leq 0$ ，则它的否定是 $\neg p$ ： $\forall x \notin R ， x^{2} + x + 2 > 0$ .

④二项式 ${(\sqrt{2} x^{2} + \frac{1}{\sqrt[3]{2} x})}^{12}$ 的展开式中，系数为有理数的项共3项.

A、1 B、2 C、3 D、

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6. 函数 $f (x) = (1 + \frac{2}{e^{x} - 1}) \cos x$ 的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图所示，网格中小正方形的边长均为1， $△ A B C$ 的三个顶点均在小正方形的顶点处，则 $△ A B C$ 外接圆的面积为（）

A、 $\frac{130 π}{9}$ B、 $\frac{65 π}{9}$ C、 $\frac{65 π}{18}$ D、 $\frac{65 π}{36}$

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8. 某校将6个三好学生名额分配到高三年级的3个班，每班至少1个名额，则共有多少种不同的分配方案（）

A、15 B、20 C、10 D、30

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9. 已知 $5^{5} > 3^{2 \sqrt{13}}$ ， $b = \log_{2} 3$ ， $b = \log_{3} 5$ ， $c = \frac{2 \sqrt{13}}{5}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $a > c > b$ D、 $b > c > a$

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10. 在棱长为 $8$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 为棱 $D D_{1}$ 上一点，且 $P$ 到 $C_{1} D_{1}$ 的距离与到 $A C$ 的距离相等，则四面体 $P - A C D$ 的外接球的表面积为（）

A、 $128 π$ B、 $132 π$ C、 $133 π$ D、 $164 π$

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $\frac{n}{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}} = \frac{1}{4 n + 1} (n \in N^{*})$ ，若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{a_{n} + 3}{4}$ ，则 $\frac{1}{b_{1} b_{2}} + \frac{1}{b_{2} b_{3}} + \dots +$ $\frac{1}{b_{2020} b_{2021}} =$ （）

A、 $\frac{505}{2020}$ B、 $\frac{2020}{2021}$ C、 $\frac{2019}{2020}$ D、 $\frac{505}{2021}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 的奇函数，且满足 $f (x + 1) + f (1 - x) = 0$ ，当 $x \in [- 1 ， 0)$ ， $f (x) = - \ln | x |$ ，则下列关于函数 $f (x)$ 叙述正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为1 B、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， 2021)$ 内单调递增 C、函数 $f (x)$ 相邻两个对称中心的距离为2 D、函数 $y = f (x) + \ln x$ 的图象在区间 $(2020 ， 2021)$ 内的零点 $x_{0}$ 满足 $e^{x_{0}^{2} - 2020 x_{0}} = e$

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二、填空题

13. 若 $△ A B C$ 是边长为1的等边三角形，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} =$ .

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14. 函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos 2 x - 1$ 在 $(- π ， π)$ 上的零点之和为.

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15. 已知双曲线C： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，过下焦点F作斜率为2的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A，且A在第一象限，若 $| O A | = | O F |$ （ $O$ 为坐标原点），则双曲线C的离心率为.

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16. 丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数 $f (x)$ 在 $(a ， b)$ 上的导函数为 $f^{'} (x)$ ， $f^{'} (x)$ 在 $(a ， b)$ 上的导函数为 $f^{″} (x)$ ，若在 $(a ， b)$ 上 $f^{″} (x) < 0$ 恒成立，则称函数 $f (x)$ 是 $(a ， b)$ 上的“严格凸函数”，称区间 $(a ， b)$ 为函数 $f (x)$ 的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为 .
①函数 $f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 2$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上为“严格凸函数”；

②函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ 的“严格凸区间”为 $(0 ， e^{\frac{3}{2}})$ ；

③函数 $f (x) = e^{x} - x \ln x - \frac{m}{2} x^{2}$ 在 $(1 ， 4)$ 为“严格凸函数”，则m的取值范围为 $[e - 1 ， + \infty)$ .

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三、解答题

17. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{3} = 9$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{5}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 2^{a_{n} + 1}$ ，求数列 ${b_{n} - a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 某市从2020年5月1日开始，若电子警察抓拍到机动车不礼让行人的情况后，交警部门将会对不礼让行人的驾驶员进行扣3分，罚款200元的处罚，并在媒体上曝光.但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频有发生，带来了较大的交通安全隐患和机动车通畅率降低点情况.交警部门在某十字路口根据以往的监测数据，得到行人闯红灯的概率为0.2，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：

	45岁以下	45岁以上	合计
闯红灯人数		25
未闯红灯人数	85
合计			200

近期，为了整顿“行人闯红灯”这一不文明的违法行为，交警部门在该十字路口试行了对闯红灯的行人进行5元以上，50元以下的经济处罚.在试行经济处罚一段时间后，交警部门再次对穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯的情况进行统计，得到2×2列联表如下：

	45岁以下	45岁以上	合计
闯红灯人数	5	15	20
未闯红灯人数	95	85	180
合计	100	100	200

将统计数据所得频率视为概率，完成下列问题：

(1)、将2×2列联表填写完整（不需要写出填写过程），并根据表中数据分析，在试行对闯红灯的行人进行经济处罚前，是否有90%的把握认为闯红灯行为与年龄有关；

(2)、在试行对闯红灯的行人进行经济处罚后，闯红灯现象是否有明显改善，请说明理由；

(3)、结合调查结果，请你对“如何治理行人闯红灯现象”提出合理的建议（至少提出两条建议）.

参考公式： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

参考数据：

P（K²≥k₀）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	1.132	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.897	10.828

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为直角梯形， $A B // C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A B = B C = 2 C D = 4$ ， $P A = 2$ ， $P B = 2 \sqrt{5}$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点，且 $P E ⊥ B D$ .

(1)、证明： $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、线段 $P B$ 上是否存在一点 $M$ ，使得二面角 $M - D E - A$ 的余弦值为 $\frac{5 \sqrt{3}}{9}$ ？若存在，试确定点 $M$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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20. 已知抛物线 $C$ : $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线经过椭圆 $x^{2} + \frac{4 y^{2}}{3} = 1$ 的一个焦点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、过椭圆的右顶点且斜率为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的两条直线分别交抛物线 $C$ 于点 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ ，点 $P$ ， $Q$ 分别是线段 $A B$ , $M N$ 的中点，若 $k_{1} + k_{2} = 2$ ，求抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 到直线 $P Q$ 的距离的最大值.

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21. 函数 $f (x) = x^{3} + (1 + a) x^{2} + a x + c$ $(a ， c \in R)$ ，若 $f (x)$ 的两个极值点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且满足 $| x_{2} - x_{1} | = \frac{2}{3}$ .

(1)、求实数a的值；

(2)、若函数 $f (x)$ 有三个零点，求证： $f (x)$ 的所有零点的绝对值都小于 $\frac{3}{2}$ .

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22. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} + 2 ρ \sin θ - 3 = 0$ ，点 $P$ 的极坐标是 $(4, \frac{π}{2})$ .

(1)、求直线l的极坐标方程及点 $P$ 到直线l的距离；

(2)、若直线l与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 $△ P A B$ 的面积.

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23. 已知 $f (x) = | x + a | \cdot x + | x - 2 | \cdot (x + a) (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集；

(2)、当 $x \in (- \infty, - 1)$ 时，恒有 $f (x) < 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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