广东省佛山市顺德区十一校联盟2020-2021学年高二下学期数学第二次考试（5月）试卷

试卷更新日期：2021-06-07 类型：月考试卷

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一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项正确）

1. 已知复数 $z$ 满足 $(3 + 4 i) z = 7 + i$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 的虚部是（）

A、 $i$ B、1 C、-1 D、 $- i$

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2. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (a, 4)$ 且 $P (X > 1) = 0.5$ ,则实数 $a =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、4

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3. 某同学对如右图所示的小方格进行涂色一种颜色，若要求每行、每列中都恰好只涂一个方格，则不同的涂色种数为（）

A、12 B、36 C、24 D、48

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4. 随机变量 $X$ 的分布列如下表：

$X$

-1

0

1

$P$

$a$

$b$

$c$

其中 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等差数列，则 $P (| X | = 1) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（）

A、576 B、432 C、388 D、216

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6. 某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生(含一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{3}{11}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7. 函数 $f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$ 的图像大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{x} ， x < 0 \\ \ln x ， x > 0 \end{cases} ， g (x) = f (x) - x - a$ ，若 $g (x)$ 恰有3个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a < - 2$ B、 $a < - 1$ C、 $a > 1$ D、 $a > 2$

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二、多选题（本题共4小题，每小题5分，全部选对得5分，有漏选得2分，有错选得0分）

9. 据了解，到本世纪中叶中国人口老龄化问题将日趋严重，如图是专家预测中国2050年人口比例图，若从2050年开始退休年龄将延迟到65岁，则下列叙述正确的是（）

A、到2050已经退休的人数将超过 $30 %$ B、2050年中国 $46 - 55$ 岁的人数比 $16 - 25$ 岁的人数多 $30 %$ C、2050年中国25岁以上未退休的人口数大约是已退休人口数的1.5倍 D、若从中抽取10人，则抽到5人的年龄在 $36 - 45$ 岁之间的概率为 ${(\frac{1}{10})}^{5} \times {(\frac{9}{10})}^{5}$

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10. 下列关于说法正确的是（）

A、抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量 B、某人射击时命中的概率为 $0.5$ ，此人射击三次命中的次数 $X$ 服从两点分布 C、小赵．小钱．小孙．小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 $A =$ “ $4$ 个人去的景点不相同”，事件 $B =$ “小赵独自去一个景点”，则 $P (A | B) = \frac{2}{9}$ D、抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为 $Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ，令事件 $A = {2, 3, 5}$ ，事件 $B = {1, 2}$ ，则事件A ， $B$ 独立

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11. 有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）

A、分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有90种分法； B、分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法； C、分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法； D、分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；

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12. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x$ 有两个零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a \in (0 ， \frac{1}{e})$ B、 $y = f (x)$ 在 $(0 ， e)$ 上单调递增 C、 $x_{1} + x_{2} > 6$ D、若 $a \in (\frac{2}{e^{2}} ， \frac{1}{e})$ ，则 $x_{2} - x_{1} < \frac{2 - a}{a}$

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三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题的第一个空3分，第二个空2分）

13. 已知随机变量 $X$ 的分布列为 $P (X = k) = \frac{1}{3}, k = 1, 2, 3$ ，则 $D (3 X + 5) =$ ．

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14. 在含有3件次品的10件产品中，任取4件， $X$ 表示取到的次品数，则 $P (X = 2)$ _

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15. 直线 $y = x$ 与曲线 $y = 2 \ln (x + m)$ 相切，则 $m =$ ．

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16. 若 $(1 + x) {(1 - 2 x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{8} x^{8}$ ，则 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{7}$ 的值是；在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有种不同的取法（用数字作答）.

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四、解答题（本题共6小题，其中17题10分，其余各题12分，解答题须写出文字说明或演算步骤）

17. 已知 ${(2 x + \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 展开式中前三项的二项式系数和为16.

(1)、求 $n$ 的值；

(2)、求展开式中含 $x^{2}$ 的项的系数.

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18. 已知复数 $z_{1} = a + 2 i$ ， $z_{2} = 3 - 4 i$ ( $a \in R$ ， $i$ 为虚数单位).

(1)、若 $z_{1} \cdot z_{2}$ 是纯虚数，求实数 $a$ 的值.

(2)、若复数 $z_{1} \cdot z_{2}$ 在复平面上对应的点在第二象限，且 $| z_{1} | \leq 4$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 某用人单位在一次招聘考试中，考试卷上有 $A ， B ， C$ 三道不同的题，现甲、乙两人同时去参加应聘考试，他们考相同的试卷已知甲考生对 $A ， B ， C$ 三道题中的每一题能解出的概率都是 $\frac{2}{3}$ ，乙考生对 $A ， B ， C$ 三道题能解出的概率分别是 $\frac{3}{4}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{1}{2}$ ，且甲、乙两人解题互不干扰，各人对每道题是否能解出是相互独立的．

(1)、求甲至少能解出两道题的概率；

(2)、设 $X$ 表示乙在考试中能解出题的道数，求 $X$ 的数学期望；

(3)、按照“考试中平均能解出题数多”的择优录取原则，如果甲、乙两人只能有一人被录取，你认为谁应该被录取，请说出理由．

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20. 某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产 $x$ 万件，需另投入流动成本 $C (x)$ 万元，当年产量小于 $7$ 万件时， $C (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 2 x$ （万元）；当年产量不小于 $7$ 万件时， $C (x) = 6 x + \ln x + \frac{e^{3}}{x} - 17$ （万元）.已知每件产品售价为 $6$ 元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.

(1)、写出年利润 $P (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）

(2)、当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取 $e^{3} = 20$ ）.

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21. 2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率 $Z$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ .假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记 $X$ 表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于 $μ - 3 σ$ 的数量.

(1)、求 $P (X \geq 1)$ 的概率；

(2)、求 $X$ 的数学期望 $E (X)$ ；

(3)、一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率 $Z$ 小于或等于 $μ - 3 σ$ 的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？
附：若随机变量 $Z \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < Z \leq μ +2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < Z \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ ， ${0.99865}^{10} \approx 0.9871$

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - a x$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $g (x) = f (x) - \frac{a}{2} x^{2}$ ，若 $g (x)$ 有三个不同的零点，求 $a$ 的取值范围．

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$X$	-1	0	1
$P$	$a$	$b$	$c$