山东省泰安市泰山区（五四制）2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-06-07 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图为（）

A、 B、 C、 D、

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2. 实数 $a$ ， $b$ 在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（）

A、 $a > b$ B、 $- a < b$ C、 $a > - b$ D、 $| a | > | b |$

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3. 2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，顺利完成全球组网．其中支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用.22纳米＝0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为（）

A、 $2.2 \times 10^{- 8}$ B、 $0.22 \times 10^{- 7}$ C、 $22 \times 10^{- 9}$ D、 $2.2 \times 10^{8}$

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4. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若 $∠ C A B = 40 °$ ，则 $∠ A C B$ 的度数是（）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $70 °$ D、 $80 °$

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6. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{6}$ C、 ${(- a^{3})}^{2} = a^{6}$ D、 ${(- 2 a)}^{3} = - 6 a^{3}$

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7. 某校对部分参加研学活动的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如表：

年龄

13

14

15

16

人数

1

3

4

2

则这些学生年龄的众数和中位数分别是（）

A、15，15 B、15，13 C、15，14 D、14，15

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8. 如图，折叠矩形 $A B C D$ 的一边 $A D$ ，使点 $D$ 落在 $B C$ 边的点 $F$ 处，已知折痕 $A E = 5 \sqrt{5} cm$ ，且 $\tan ∠ E F C = \frac{3}{4}$ ，那么矩形 $A B C D$ 的周长是（）

A、 $36 cm$ B、 $25 cm$ C、 $24 cm$ D、 $18 cm$

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9. 若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{matrix} 2 x - a < 8 \\ \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} \geq \frac{1}{6} \end{matrix}$ 有且只有4个整数解，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $3 \leq a \leq 4$ B、 $2 < a \leq 4$ C、 $2 \leq a < 4$ D、 $2 < a < 4$

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10. 如图， $△ A C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $C B$ 垂直于过点 $D$ 的切线，垂足为 $B$ ．已知 $⊙ O$ 的半径为 $\frac{8}{3}$ ， $B C = 3$ ，那么 $\sin ∠ A$ 的值是（）

A、 $\frac{8}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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11. 如图，正方形 $A B C D$ 中，在 $A D$ 的延长线上取点 $E$ ， $F$ ，使 $D E = A D$ ， $D F = B D$ ，连接 $B F$ 分别交 $C D$ ， $C E$ 于 $H$ ， $G$ ，下列结论：① $H F = 2 H G$ ；② $∠ G D H = ∠ G H D$ ；③图中有8个等腰三角形；④ $S_{△ C D G} = S_{△ D N F}$ ．其中正确的结论个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ．给出下列结论：① $a b c < 0$ ；② $2 a + b = 0$ ；③ $a - b + c = 0$ ；④ $a m^{2} + b m \geq a + b$ ．其中，正确的结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 如图，已知四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ A B C = 68 °$ ，则 $∠ A D C$ 的度数是．

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14. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中一道题的原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有 $x$ 人， $y$ 辆车，可列方程组为．

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15. 观察下列等式： $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} = \frac{3 \times 4 \times 7}{6}$ ， $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} = \frac{4 \times 5 \times 9}{6}$ ， $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} = \frac{5 \times 6 \times 11}{6}$ ，…．按照此规律，则第 $n$ 个式子是．

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $∠ C = 30 °$ ，将 $R t △ A B C$ 绕点 $A$ 旋转得到 $R t △ A B^{'} C^{'}$ ，使点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 落在 $A C$ 上，在 $B^{'} C^{'}$ 上取点 $D$ ，使 $B^{'} D = 2$ ，那么点 $D$ 到 $B C$ 的距离等于．

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17. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 在 $A C$ 上，以 $A E$ 为直径的 $⊙ O$ 经过点 $D$ ．若 $∠ C = 30 °$ ，且 $C D = 3 \sqrt{3}$ ，则阴影部分的面积是．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 $O A_{1} A_{2}$ 的直角边 $O A_{1}$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $O A_{1} = A_{1} A_{2} = 1$ ，以 $O A_{2}$ 为直角边作第二个等腰直角三角形 $O A_{2} A_{3}$ ，以 $O A_{3}$ 为直角边作第三个等腰直角三角 $O A_{3} A_{4}$ ，…，依此规律，得到等腰直角三角形 $O A_{2020} A_{2021}$ ，则点 $A_{2021}$ 的坐标为．

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $(x - 1 + \frac{2 - 2 x}{x + 1}) \div \frac{x^{2} - x}{x + 1}$ ，其中 $x = \sqrt{5}$ ．

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20. 某校开展卫生防疫知识竞赛活动，为了了解学生对防疫知识了解情况，从八年级的300名学生中随机抽取部分学生进行防疫知识测试，按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，绘制了如图两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：

(1)、本次问卷调查，共调查了多少名学生，请补全条形统计图和扇形统计图；

(2)、某班甲、乙两位同学被选中参加校防疫知识竞赛，学校将参加竞赛的选手安排在人数相等的 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个考场，由选手抽签确定自己的考场，求甲，乙两人恰好在同一考场的概率是多少？（要求列表或画树状图）

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21. 已知：如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，点 $M$ 、 $N$ 分别在边 $B C$ 、 $C D$ 上，连接 $A M$ 、 $A N$ 交对角线 $B D$ 于 $E$ 、 $F$ 两点，且 $∠ M A N = ∠ A B D$ ．

(1)、求证： $A D^{2} = B F \cdot D E$ ；

(2)、若 $\frac{B E}{D E} = \frac{D N}{D C}$ ，求证： $E F / / M N$ ．

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22. 如图，分别位于反比例函数y＝ $\frac{1}{x}$ ，y＝ $\frac{k}{x}$ 在第一象限图象上的两点A、B ，与原点O在同一直线上，且 $\frac{O A}{O B} = \frac{1}{3}$ ．

(1)、求反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ 的表达式；

(2)、过点A作x轴的平行线交y＝ $\frac{k}{x}$ 的图象于点C ，连接BC ，求△ABC的面积．

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23. 某中学为营造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．

(1)、甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？

(2)、若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，问：学校应如何购买花费资金最少，最少资金是多少？

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24. 如图

(1)、如图1，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $B C$ ， $A B$ ， $C D$ 上的点， $F G ⊥ A E$ 于点 $Q$ ．求证： $A E = F G$ ．

(2)、如图2，点 $P$ 是线段 $A B$ 上的动点，分别以 $A P$ ， $B P$ 为边在 $A B$ 的同侧作正方形 $A P C D$ 与正方形 $P B E F$ ，连接 $D E$ 分别交线段 $B C$ ， $P C$ 于点 $M$ ， $N$ ．
①求 $∠ D M C$ 的度数；

②连接 $A C$ 交 $D E$ 于点 $H$ ，求 $\frac{D H}{B C}$ 的值．

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25. 如图，平面直角坐标系xOy中，已知B(－1，0)，一次函数y＝－x＋5的图象与x轴，y轴分别交于点A，C两点，二次函数y＝－x²＋bx＋c的图象经过点A，点B.

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、点P是该二次函数图象的顶点，求△APC的面积；

(3)、如果点Q在线段AC上，且△ABC与△AOQ相似，求点Q的坐标.

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年龄	13	14	15	16
人数	1	3	4	2