山东省青岛市市南区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-06-07 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 绝对值为 $\frac{1}{5}$ 的数是（）

A、5 B、 $\frac{1}{5}$ C、 $- \frac{1}{5}$ D、 $\pm \frac{1}{5}$

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2. 据公安部统计，2021年一季度，全国新注册登记机动车966万辆，与去年同期相比增加了388.6万辆，增长率为67.31%．将966万用科学记数法可表示为（）．

A、 $9.66 \times 10^{2}$ B、 $966 \times 10^{4}$ C、 $9.66 \times 10^{4}$ D、 $9.66 \times 10^{6}$

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3. 如图所示的领奖台是由三个长方体组合而成的几何体，则这个几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 计算 ${(- 2 a)}^{2} \cdot (\frac{1}{2} a^{3})$ 的结果是（）

A、 $- a^{5}$ B、 $2 a^{5}$ C、 $- \frac{1}{2} a^{5}$ D、 $2 a^{6}$

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5. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ B A C = 50 °$ ，过点A作 $A D$ 平行于 $B C$ ，交 $CO$ 的延长线于点D ，则 $∠ D$ 的度数（）

A、 $50 °$ B、 $45 °$ C、 $40 °$ D、 $25 °$

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6. $△ A B C$ 是网格中的格点三角形（三角形的各顶点都在网格的交叉点上），如图建立直角坐标系，将该三角形先向下平移2个单位，然后再将平移后的图形沿y轴翻折 $180 °$ ，得到 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则点B对应点 $B^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(- 4 ， 3)$ B、 $(- 3 ， - 2)$ C、 $(2 ， - 5)$ D、 $(- 4 ， - 3)$

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，点O是边 $A B$ 和 $A C$ 的垂直平分线 $O D$ 、 $O E$ 的交点，若 $∠ B O C = 100 °$ ，则这两条垂直平分线相交所成锐角 $α$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $80 °$

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8. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的对称轴为直线 $x = 1$ ，与x轴的两个交点是A ， B ，其中点A的坐标为 $(3 ， 0)$ ，则下列结论：① $a b c > 0$ ；② $b^{2} - 4 a c ⩾ 0$ ；③点B的坐标是 $(- 1 ， 0)$ ；④点 $C (x_{1} ， y_{1})$ 、 $D (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线上的两点，若 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ ，其中正确结论的个数是（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

9. 计算： $\frac{\sqrt{50} - \sqrt{16}}{\sqrt{2}} - {(2 \sqrt{2})}^{0} =$ ．

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10. 某运动队要从甲、乙、丙、丁四名跳高运动员中选拔一人参加比赛，教练组统计了最近几次队内选拔赛的成绩并进行了分析，得到如下表：

	甲	乙	丙	丁
平均数（ $cm$ ）	176	173	175	176
方差	10.5	10.5	32.7	42.1

根据表中数据，教练组应该选择参加比赛（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”）．

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11. 某超市销售时令水果，两次购进一定数量的草莓．已知第一次购买每千克售价是第二次的1.5倍，且第二次购买400千克比第一次购买200千克多花了1000元，求两次购买草莓每千克的售价分别是多少元？若设第一、二次购买草莓每千克的售价分别为x元和y元，根据题意可列方程组为．

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12. 小明参加了一个抽奖游戏：一个不透明的布袋里装有1个红球，2个蓝球，4个黄球，8个白球，这些小球除颜色外完全相同．从布袋里摸出1球，摸到红球、蓝球、黄球、白球可分别得到奖金30元、20元、5元和0元，则小明摸一次球得到的平均收益是元．

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13. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = A B ， ∠ B A C = 90 ° ， B C = 4$ ，点O为 $B C$ 的中点，以点O为圆心， $O B$ 为半径作圆心角为 $90 °$ 的扇形 $O D E$ ，则图中阴影部分的面积为．

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14. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ，E为 $B C$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折叠，使点B落在正方形内点F处，连接 $C F$ ，则 $C F$ 的长为．

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三、解答题

15. 已知：如图， $∠ α$ 和线段h
求作：等腰 $△ A B C$ ，使顶角 $∠ A = ∠ α$ ，底边 $B C$ 上的高为h ．

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16.

(1)、化简： $\frac{a - 2}{2 a + 6} \div (a - 3 + \frac{5}{a + 3})$ ．

(2)、解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x - 2 < 7 \\ \frac{2 x - 1}{3} - \frac{5 x + 1}{2} \leq 1 \end{array}$ ，并写出该不等式组的非负整数解．

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17. 小明和小亮用如图所示的转盘（转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动转盘两次．若两次转到的数字都是奇数，则小明胜；否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．

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18. 如图，一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象交于 $A (3 ， 2)$ 、 $B (- \frac{1}{2} ， n)$ 两点．

(1)、求反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 和一次函数 $y = k x + b$ 的表达式．

(2)、根据图象，直接写出关于x的不等式 $\frac{m}{x} - k x ⩾ b$ 的解集．

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19. 如图，海中有一小岛A ，今有一货轮由南向北航行，开始在A岛西南方向的B处，往北行驶30海里后到达该岛南偏西 $76 °$ 的C处．之后，货轮继续向北航行一艘快艇从A岛出发，沿北偏西 $37 °$ 方向行驶，恰好在D处与货轮相遇，求相遇时快艇行驶的距离 $A D$ ．
（结果保留整数，参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ， $\sin 76 ° \approx 0.97$ ， $\cos 76 ° \approx 0.24$ ， $\tan 76 ° \approx 4.00$ ）

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20. 本月初我市市区某校九年级学生进行一次体育模拟测试，并将目标效果测试中第二类选考项目（足球运球、篮球运球、排球垫球任选一项）的情况进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：

(1)、学校参加本次测试和参加“排球垫球”测试的人数分别是多少人？

(2)、“篮球运球”的中位数落在等级；

(3)、将本次测试“足球运球”、“篮球运球”、“排球垫球”三项等级折算成分数，则它们的平均成绩分别为6.5分，7.6分，8分，求参加本次测试的学生第二类选考项目的平均成绩；

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21. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A C ⊥ A B$ ，垂足为A ，点E是 $B C$ 上的一点，连接 $A E$ 并延长，交 $D C$ 的延长线于点F ，且 $A F = A D$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ F C E$ ；

(2)、若 $B C = \sqrt{2} A B$ ，判断四边形 $A B F C$ 的形状，并证明你的结论．

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22. 随着人们生活水平提升，我市市民对花卉需求量也在增加．新春佳节临近，购买自己喜爱的鲜花装饰家庭成为青岛市民必备的时尚年货．市民走进花卉市场，寻找春景春色赏花买花，体验浓浓年味．春节前夕，某花卉市场店铺老板用5400元按批发价购买了一批花卉．若将批发价降低10%，则可以多购买该花卉20盆，据市场调查反映，该花卉每盆售价42元时，每天可卖出20盆；若调整价格，每盆花卉每涨价2元，每天要少卖出1盆．

(1)、该花卉每盆批发价是多少元？

(2)、店铺老板决定在每盆售价42元的基础上，每盆花卉涨价不超过10元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元？

(3)、该店铺开展快递托运送货到家活动，但每盆花卉店铺还需增加a元的快递成本，若每盆花卉售价不低于62元时，每天的利润将随着售价的增长不断降低，请直接写出快递成本最多是多少元？

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23. （问题提出）用n个圆最多能把平面分成几个区域？
（问题探究）为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．

探究一：如图1，一个圆能把平面分成2个区域．

探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？

如图2，在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域．

探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域？

如图3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成 $2 \times 2 = 4$ 部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域．

(1)、用4个圆最多能把平面分成几个区域？
仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．

(2)、（一般结论）用n个圆最多能把平面分成几个区域？
为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前 $(n - 1)$ 个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成部分，从而增加个区域，所以，用n个圆最多能把平面分成个区域．（将结果进行化简）

(3)、（结论应用）
①用10个圆最多能把平面分成个区域；

②用个圆最多能把平面分成422个区域．

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24. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6 cm ， B C = 8 cm$ ，点E ， F分别为 $A D$ ， $B C$ 边的中点．动点P从点E出发沿 $E D$ 向点D运动，速度为 $1cm/s$ ，同时，动点Q从点F出发沿 $F B$ 向点B运动，速度为 $2cm/s$ ，过点Q作 $Q M / / A C$ ，交 $A B$ 于点M ，连接 $P M ， P Q$ ，分别交 $A C$ 于点G ， H ．设运动时间为 $t (s) (0 < t < 2)$ ．

(1)、连接 $D F$ ，当t为何值时，四边形 $P D F Q$ 是平行四边形？

(2)、设 $△ P Q M$ 的面积为 $S ({cm}^{2})$ ，求S与t之间的函数关系式；

(3)、是否存在某一时刻t ，使得 $△ P Q M$ 的面积S等于矩形面积的 $\frac{1}{8}$ ？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

(4)、如图2，过点C作 $C N ⊥ P Q$ ，垂足为N ，连接 $A N$ ，是否存在某一时刻t ，使得线段 $A N$ 的长度有最小值？若存在，求出线段 $A N$ 的最小值；若不存在，说明理由．

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