山东省乐陵市2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-06-07 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 2021的倒数是（）

A、 -2021 B、 $- \frac{1}{2021}$ C、2021 D、 $\frac{1}{2021}$

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2. 如图所示的主视图对应的几何体是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知一种细胞的直径约为 $1.49 \times 10^{- 4} c m$ ，请问 $1.49 \times 10^{- 4}$ 这个数原来的数是（）

A、 $14900$ B、 $1490000$ C、 $0.0149$ D、 $0.000149$

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4. “致中和，天地位焉，万物焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，下列图形，可以看作中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ B、 $a^{4} \cdot a^{2} = a^{8}$ C、 ${(2 a^{2})}^{3} = 8 a^{6}$ D、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$

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6. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）。

A、45° B、60° C、75° D、85°

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7. 下列命题中，是真命题的是（）

A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B、两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等 C、两条直线被三条直线所截，内错角相等 D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形

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8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 $4.5$ 尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余 $1$ 尺，问木长多少尺，现设绳长 $x$ 尺，木长 $y$ 尺，则可列二元一次方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ y - \frac{1}{2} x = 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ y - \frac{1}{2} x = 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x - y = 4.5 \\ \frac{1}{2} x - y = 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ \frac{1}{2} x - y = 1 \end{array}$

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9. 若关于x的方程 $\frac{2}{x - 2} + \frac{x + m}{2 - x} = 2$ 的解为正数，则m的取值范围是（）

A、m<6 B、m>6 C、m<6且m≠0 D、m>6且m≠8

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10. 为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量 $y (mg)$ 与时间 $t (h)$ 成正比例；药物释放完毕后， $y$ 与 $t$ 成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（）

A、药物释放过程需要 $\frac{3}{2}$ 小时 B、药物释放过程中， $y$ 与 $t$ 的函数表达式是 $y = \frac{2}{3} t$ C、空气中含药量大于等于 $0.5 {mg/m}^{3}$ 的时间为 $\frac{9}{4} h$ D、若当空气中含药量降低到 $0.25 {mg/m}^{3}$ 以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室

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11. 如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）

A、 $π + \sqrt{3}$ B、 $π - \sqrt{3}$ C、2 $π - \sqrt{3}$ D、2 $π - 2 \sqrt{3}$

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12. 如图， $△ O A_{1} B_{1}$ ， $△ A_{1} A_{2} B_{2}$ ， $△ A_{2} A_{3} B_{3}$ ，…是分别以 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点 $C_{1} (x_{1} ， y_{1})$ ， $C_{2} (x_{2} ， y_{2})$ ， $C_{3} (x_{3} ， y_{3})$ ，…均在反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象上，则 $y_{1} + y_{2} + \dots + y_{2021}$ 的值为（）

A、 $2 \sqrt{2021}$ B、900 C、 $2 \sqrt{2022}$ D、 $4 \sqrt{505}$

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二、填空题

13. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若气温零上 $5 ℃$ 记做 $+ 5 ℃$ ，若气温零下 $3 ℃$ ，则记作 $℃$ ．

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14. 一个不透明的盒子中装有1个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了新色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为．

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15. 菱形的一条对角线长为8，其边长是方程 $x^{2} - 9 x + 20 = 0$ 的一个根，则该菱形的周长为．

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16. 阅读理解：用“十字相乘法”分解因式 $2 x^{2} - x - 3$ 的方法.
⑴二次项系数 $2 = 1 \times 2$ ；

⑵常数项 $- 3 = - 1 \times 3 = 1 \times (- 3)$ 验算：“交叉相乘之和”；

$1 \times 3 + 2 \times (- 1) = 1$ ； $1 \times (- 1) + 2 \times 3 = 5$ ； $1 \times (- 3) + 2 \times 1 = - 1$ ； $1 \times 1 + 2 \times (- 3) = - 5$

⑶发现第③个“交叉相乘之和”的结果 $1 \times (- 3) + 2 \times 1 = - 1$ ，等于一次项系数-1，即 $(x + 1) (2 x - 3) = 2 x^{2} - 3 x + 2 x - 3 = 2 x^{2} - x - 3$ ，则 $2 x^{2} - x - 3 = (x + 1) (2 x - 3)$ .像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式： $3 x^{2} + 5 x - 12 =$ ．

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17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P为AB边上不与A，B重合的一动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF的最小值是．

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18. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A C ， B D$ 相交于点O ，过点B作 $B F ⊥ A C$ 交 $C D$ 于点F ，交 $A C$ 于点M ，过点D作 $D E / / B F$ 交 $A B$ 于点E ，交 $A C$ 于点N ，连接 $F N ， E M$ ，则下列结论：

① $D N = B M$ ；② $E M / / F N$ ；③ $A E = F C$ ；④当 $A O = A D$ 时，四边形 $D E B F$ 是菱形．其中，正确的序号为：．

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三、解答题

19. 已知：a²+3a﹣2=0，求代数 $\frac{a - 3}{a^{2} - 2 a} \div (a + 2 - \frac{5}{a - 2})$ 的值．

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20. 为了掌握我市中考模拟数学考试卷的命题质量与难度系数，命题教师赴我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为150分）分为5组（从左到右的顺序）．统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列可题：

(1)、本次调查共随机抽取了该年级 ▲ 名学生，并将频数分布直方图补充完整；

(2)、估计该年级1500名考生中，考试成绩120分以上（含120分）学生有名；

(3)、扇形统计图中，第二组所占圆心角的度数为 $°$ ．

(4)、如果第一组（75~90）中只有一名是女生，第五组（135~150）中只有一名是男生，针对考试成绩情况，命题教师决定从第一组、第五组分别随机选出一名同学谈谈做题的感想．请你用列表或画树状图的方法求出所选两名学生好是一名女生和一名男生的概率．

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21. 甲、乙两人相约周末沿同一条路线登山，甲、乙两人距地面的高度 $y$ （米）与登山时间 $x$ （分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：

(1)、甲登山的速度是每分钟米；乙在A地提速时，甲距地面的高度为米；

(2)、若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍；
①求乙登山全过程中，登山时距地面的高度 $y$ （米）与登山时间 $x$ （分钟）之间的函数解析式；

②乙计划在他提速后5分钟内追上甲，请判断乙的计划能实现吗？并说明理由；

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22. 如图，在△ABC中，AC=BC，AB=26，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，点E在BC上，连结BD，DE，∠CDE=∠ABD．

(1)、证明：DE是⊙O的切线；

(2)、若sin∠CDE= $\frac{5}{13}$ ，求DC的长．

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23. 用电脑程序控制小型赛车进行50m比赛，“畅想号”和“和谐号”两辆赛车进入了决赛．比赛前的练习中，两辆车从起点同时出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还差3m．已知“畅想号”的平均速度为2.5m/s．

(1)、求“和谐号”的平均速度；

(2)、如果两车重新开始比赛，“畅想号”从起点向后退3m，两车同时出发，两车能否同时到达终点？若能，求出两车到达终点的时间；若不能，请重新调整一辆车的平均速度，使两车能同时到达终点．

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24. 随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节：（观察猜想）-（探究证明）-（拓展延伸）．下面同学们从这三个方面试看解决下列问题：
已知：如图1所示将一块等腰三角板 $B M N$ 放置与正方形 $A B C D$ 的 $∠ B$ 重含，连接 $A N$ 、 $C M$ ，E是 $A N$ 的中点，连接 $B E$ ．

(1)、（观察猜想）
$C M$ 与 $B E$ 的数量关系是， $C M$ 与 $B E$ 的位置关系是；

(2)、（探究证明）
如图2所示，把三角板 $B M N$ 绕点B逆时针旋转 $α (0 < α < 90)$ ，其他条件不变，线段 $C M$ 与 $B E$ 的关系是否仍然成立，并说明理由；

(3)、（拓展延伸）
若旋转角 $α = 45 °$ ，且 $∠ N B E = 2 ∠ A B E$ ，求 $\frac{B C}{B N}$ 的值．

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25. 如图，抛物线y＝ax²+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝ $\frac{1}{2}$ ，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；

(3)、抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与 $△ B O C$ 相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

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