山东省德州市宁津县2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-06-07 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列运算正确的是（）

A、 $a^{5} \cdot a^{2} = a^{10}$ B、 $a^{3} \div a = a^{2}$ C、 $2 a + a = 2 a^{2}$ D、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$

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2. 2020年7月20日，宁津县人民政府印发《津县城市生活垃圾分类制度实施方案》的通知，全面推行生活垃圾分类．下列垃圾分类标志分别是厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2020年1月12日，世界卫生组织正式将新型冠状病毒命名为 $2019 - nCoV$ ，其直径大小约为 $120 nm$ ， $1 nm = 10^{- 9} m$ ，则这种感冒病毒的直径用科学记数法表示（）

A、 $120 \times 10^{- 9} m$ B、 $1.2 \times 10^{- 6} m$ C、 $1.2 \times 10^{- 7} m$ D、 $1.2 \times 10^{- 8} m$

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4. 如图， $△ A C D$ 和 $△ A E B$ 都是等腰直角三角形， $∠ C A D = ∠ E A B = 90^{°}$ ．四边形 $A B C D$ 是平行四边形，下列结论中错误的有（）

① $△ A C E$ 以点 $A$ 为旋转中心，逆时针方向旋转 $90 °$ 后与 $△ A D B$ 重合，② $△ A C E$ 以点 $A$ 为旋转中心，顺时针方向旋转 $270 °$ 后与 $△ D A C$ 重合，③沿 $A B$ 所在直线折叠后， $△ A C E$ 与 $△ A D E$ 重合，④沿 $A D$ 所在直线折叠后， $△ A D B$ 与 $△ A D E$ 重合，⑤ $△ A C E$ 的面积等于 $△ A B E$ 的面积．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 一组数据：5，3，4，x ， 2，1的平均数是3，则这组数据的方差是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、10 D、 $\frac{63}{6}$

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6. 如图，在国旗台DF上有一根旗杆AF ，国庆节当天小明参加升旗仪式，在B处测得旗杆顶端的仰角为37°，小明向前走4米到达点E ，经过坡度为1的坡面DE ，坡面的水平距离是1米，到达点D ，测得此时旗杆顶端的仰角为53°，则旗杆的高度约为（）米．（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.6$ ， $\cos 37 ° \approx 0.8$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ）

A、6.29 B、4.71 C、4 D、5.33

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7. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象如图所示，则下面一次函数 $y = b x + c$ 与反比例函数 $y = \frac{a}{x}$ 在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 一次函数y＝kx+b（k ， b是常数，k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＞0的解集是（）

A、x＞0 B、x＞3 C、x＜0 D、x＜3

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9. 观察下列图形的规律，依照此规律第9个图形中共有（）个点．

A、135 B、140 C、145 D、150

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10. 布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{2}{9}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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11. 如图 $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = B C$ ， $∠ D B C = 32^{°}$ ，则 $∠ B C D =$ （）

A、113° B、103° C、45° D、58°

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12. 如图平面直角坐标系中，菱形 $O B C D$ 的边 $O B$ 在 $x$ 轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过菱形对角线的交点 $A$ ，且与边 $B C$ 交于点 $F$ ，点 $C$ 的坐标为 $(8 ， 4)$ ，则 $△ O B F$ 的面积为（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{11}{3}$ D、 $\frac{11}{4}$

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二、填空题

13. 已知 $x + y = 5$ ， $x y = - 1$ ，则代数式 $x^{2} y + x y^{2}$ 的值为．

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14. 方程术是《九章算术》最高的数学成就.《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.问牛、羊各直金几何？” 译文为：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两.问每头牛、每只羊各值金多少两”.若设每头牛值金x两，每只羊值金y两，则可列方程组为.

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15. 如图，在⊙O中，直径AB的长是26，弦CD⊥AB交AB于E，若OE=5，则CD的长度为，若∠B=35°，则∠AOC= ．

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16. 如图，将矩形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 所在直线翻折后，点 $A$ 与点 $E$ 重合，且 $E D$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，连接 $A E$ ．如果 $tan ∠ D F C = \frac{2}{3}$ ，那么 $\frac{B D}{A E}$ 的值是．

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17. 如图， $D A$ 切 $⊙ O$ 于点 $A$ ， $A C$ 是 $⊙ O$ 直径，连接 $D C$ 交 $⊙ O$ 于 $B$ ，若 $∠ A C B = 30^{°}$ ， $O C = 3$ ，则阴影部分的面积是．

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18. 如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为3m处达到最高，高度为5m，水柱落地处离池中心距离为9m，则水管的长度OA是m.

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三、解答题

19. 先化简： $(\frac{3}{x - 1} - x - 1) \cdot \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 4}$ ，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．

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20. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．新冠疫情期间某校为了解学生在停课不停学中的阅读情况，（七、八年级学生人数相同），某周从这七、八年级学生中分别随机抽查了40名同学，调查了他们周一至周五的阅读情况，根据调查情况得到如下统计图表：

年级	参加阅读人数
年级	周一	周二	周三	周四	周五
七年级	25	30	$a$	40	30
八年级	20	26	24	30	40
合计	45	56	59	70	70

(1)、填空：a= ；

(2)、根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：

年级	平均阅读时间的中位数	参加阅读人数的方差
七年级	27分钟
八年级	分钟	46.4

(3)、请你结合周一至周五阅读人数统计表，估计该校七、八年级共1120名学生中，周一至周五平均每天有多少人进行阅读？

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21. 已知： $A C$ 是 $▱ A B C D$ 的对角线．

(1)、用直尺和圆规作出线段 $A C$ 的垂直平分线，与 $A D$ 相交于点 $E$ ，连接 $C E$ ．（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、在（1）的条件下，若 $A B = 3 ， B C = 5$ ，求 $△ D C E$ 的周长．

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22. 5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格

进价（元/部）

售价（元/部）

A

3000

3400

B

3500

4000

某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．

(1)、营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？

(2)、若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？

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23. 如图， $B C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C E$ 是 $⊙ O$ 的弦，过点 $E$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $C B$ 的延长线于点 $G$ ，过点 $B$ 作 $B F ⊥ G E$ 于点 $F$ ，交 $C E$ 的延长线于点 $A$ ．

(1)、求证： $∠ A B G = 2 ∠ C$ ；

(2)、若 $G F = 3 \sqrt{3}$ ， $G B = 6$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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24. 阅读理解：
如图1，Rt△ABC中，a ， b ， c分别是∠A ， ∠B ， ∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R ．根据锐角三角函数的定义：sinA＝ $\frac{a}{c}$ ，sinB＝ $\frac{b}{c}$ ，可得 $\frac{a}{\sin A}$ ＝ $\frac{b}{\sin B}$ ＝c＝2R ，即： $\frac{a}{\sin A}$ ＝ $\frac{b}{\sin B}$ ＝ $\frac{c}{\sin C}$ ＝2R ，（规定sin90°＝1）．

(1)、探究活动：
如图2，在锐角△ABC中，a ， b ， c分别是∠A ， ∠B ， ∠C的对边，其外接圆半径为R ，那么： $\frac{a}{\sin A}$ $\frac{b}{\sin B}$ $\frac{c}{\sin C}$ （用＞、＝或＜连接），并说明理由．

事实上，以上结论适用于任意三角形．

(2)、初步应用：
在△ABC中，a ， b ， c分别是∠A ， ∠B ， ∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b ．

(3)、综合应用：
如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A ， B ， D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（ $\sqrt{3}$ ≈1.732，sin15°＝ $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ ）

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25. 如图，函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (m ， 0)$ ， $B (0 ， n)$ 两点， $m$ ， $n$ 分别是方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的两个实数根，且 $m < n$ ．

(1)、求 $m$ ， $n$ 的值以及函数的解析式；当 $0 ⩽ x ⩽ 3$ 时，求函数 $y$ 的最大值和最小值；

(2)、设抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴的另一个交点为 $C$ ，抛物线的顶点为 $D$ ，连接 $A B$ ， $B C$ ， $B D$ ， $C D$ 求证： $△ B C D ∽ △ O B A$ ．

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	进价（元/部）	售价（元/部）
A	3000	3400
B	3500	4000