人教A版2019必修一3.3幂函数同步练习

试卷更新日期：2021-06-06 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知幂函数 $f (x) = (n^{2} + 2 n - 2) \cdot x^{n^{2} - 3 n} (n \in Z)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是减函数，则 $n$ 的值为（）

A、-3 B、1 C、2 D、1或2

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2. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象通过点 $(2, 2 \sqrt{2})$ ，则该函数的解析式为（）

A、 $y = 2 x^{\frac{1}{2}}$ B、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ C、 $y = x^{\frac{3}{2}}$ D、 $y = \frac{1}{2} x^{\frac{5}{2}}$

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3. 下列幂函数在区间 $(0, + \infty)$ 内单调递减的是（）

A、 $y = x$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = x^{- 1}$

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4. 若幂函数 $f (x) = q x^{- p^{2} + 2 p + 3} (q \in R, p \in Z)$ 在 $(0, + \infty)$ 上是增函数，且在定义域上是偶函数，则 $p + q$ =（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. 已知幂函数 $f (x) = (t^{2} - 4 t - 4) x^{t - 2}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递减，则 $f (4) =$ （）

A、 $\frac{1}{32}$ B、 $\frac{1}{64}$ C、32 D、64

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6. 若幂函数的图象过点（2， $\frac{1}{4}$ ），则它的单调递增区间是（）

A、(0，＋∞) B、[0，＋∞) C、(－∞，＋∞) D、(－∞，0)

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7. 已知幂函数 $f (x) = (a - 1) x^{n}$ 的图象过点 $(2, 8)$ ，且 $f (b - 2) < f (1 - 2 b)$ ，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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8. 已知幂函数 $y_{1} = x^{a} ， y_{2} = x^{b} ， y_{3} = x^{c} ， y_{4} = x^{d}$ 在第一象限的图象如图所示，则（）

A、 $a > b > c > d$ B、 $b > c > d > a$ C、 $d > b > c > a$ D、 $c > b > d > a$

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二、多选题

9. 已知幂函数 $f (x) = (m + \frac{9}{5}) x^{m}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (- 32) = \frac{1}{16}$ B、 $f (x)$ 的定义域是 $R$ C、 $f (x)$ 是偶函数 D、不等式 $f (x - 1) \geq f (2)$ 的解集是 $[- 1 ， 1) \cup (1 ， 3]$

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10. 已知幂函数 $f (x)$ 图像经过点 $(4 ， 2)$ ，则下列命题正确的有（）

A、函数为增函数 B、函数为偶函数 C、若 $x \geq 9$ ，则 $f (x) \geq 3$ D、若 $x_{2} > x_{1} > 0$ ，则 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} > f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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11. 已知幂函数 $y = x^{α}$ 的图像如图所示，则a值可能为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、3

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12. 下列命题为真命题的是（）

A、函数 $y = x + \frac{2}{x}$ 在区间 $[2 ， 3]$ 上的值域是 $[2 \sqrt{2} ， \frac{11}{3}]$ B、当 $a c > 0$ 时， $\exists x \in R$ ， $a x^{2} + b x - c = 0$ C、幂函数的图象都过点 $(1 ， 1)$ D、“ $- 2 < x < 3$ ”是“ $(x^{2} - 2 x + 4) (x^{2} - 2 x - 3) < 0$ ”的必要不充分条件

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三、填空题

13. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - m - 1) x^{m}$ 的图象关于y轴对称，则m的值为.

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14. 不等式 ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}} > {(3 x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ 的解集为.

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15. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 1) x^{m}$ 的图像如右图所示，那么实数m的值是．

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16. 下列说法中，正确的是．（填序号）
①任取 $x > 0$ ，均有 $3^{x} > 2^{x}$ ；②当 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ 时，有 $a^{3} > a^{2}$ ；③ $y = {(\sqrt{3})}^{- x}$ 是增函数；④ $y = 2^{| x |}$ 的最小值为1；⑤在同一坐标系中， $y = 2^{x}$ 与 $y = 2^{- x}$ 的图象关于 $y$ 轴对称．

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四、解答题

17. 比较下列各组数中两个数的大小．

(1)、 ${(\frac{1}{8})}^{\frac{7}{8}}$ 与 ${(\frac{1}{9})}^{\frac{7}{8}}$ ；

(2)、3 $^{- \frac{5}{2}}$ 与3.1 $^{- \frac{5}{2}}$ ；

(3)、 ${(- \frac{2}{3})}^{- \frac{2}{3}}$ 与 ${(- \frac{π}{6})}^{- \frac{2}{3}}$ ；

(4)、0.2^0.6与0.3^0.4.

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18. 已知函数 $h (x) = (m^{2} - 5 m + 1) x^{m + 1}$ 为幂函数，且为奇函数.

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、求函数 $g (x) = h (x) + \sqrt{1 - 2 x}$ 在 $x \in [- 1, \frac{1}{2}]$ 的值域.

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19. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + 4 m - 4) x^{m + 1}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、用定义法证明函数 $g (x) = f (x) + \frac{4 (m + 3)}{x}$ 在区间 $(0, 2)$ 上单调递减.

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20. 已知幂函数 $f (x) = x^{\frac{1}{m^{2} + m}} (x \in N^{*})$ .

(1)、试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)、若该函数还经过点(2， $\sqrt{2}$ )，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = x^{- k^{2} + k + 2} (k \in N)$ ，满足 $f (2) < f (3)$ ．

(1)、求 $k$ 的值并求出相应的 $f (x)$ 的解析式；

(2)、对于（1）中的函数 $f (x)$ ，使得 $g (x) = f (x) - (m - 1) x + m$ 在 $[0, 2]$ 上是单调函数，求实数 $m$ 的取值范围．

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22. 已知幂函数 $f (x) = x^{m^{2} - 4 m}$ （实数 $m \in Z$ ）的图像关于 $y$ 轴对称，且 $f (2) > f (3)$ .

(1)、求 $m$ 的值及函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (a + 2) < f (1 - 2 a)$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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