人教A版2019必修一3.1函数的性质同步练习

试卷更新日期：2021-06-06 类型：同步测试

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一、单选题

1. 下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = x$ D、 $y = \sqrt{x}$

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2. 设函数 $f (x) = (1 - 2 a) x + b$ 是R上的增函数，则有（）

A、 $a < \frac{1}{2}$ B、 $a > \frac{1}{2}$ C、 $a < - \frac{1}{2}$ D、 $a > - \frac{1}{2}$

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3. 下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是递增函数的是（）

A、 $y = e^{x}$ B、 $y = \sin x$ C、 $y = \sqrt{x}$ D、 $y = x^{3}$

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4. 下列函数中，定义域是 $R$ 且为增函数的是（）

A、 $y = {(x - 1)}^{2}$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = | x |$

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5. 已知 $f (x) = a x^{2} + b x$ 是定义在[a - 1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是（）

A、－ $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、－ $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 下列函数中是奇函数的为（）

A、 $f (x) = x^{2} + 1$ B、 $f (x) = x + \frac{2}{x}$ C、 $f (x) = x^{2} + x$ D、 $f (x) = 2 x + 1$

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7. 下列判断正确的为（）

A、函数f(x)＝ $\frac{x^{2} - 2 x}{x - 2}$ 是奇函数 B、函数f(x)＝(1－x) $\sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}}$ 是偶函数 C、函数f(x)＝1既是奇函数又是偶函数 D、函数f(x)＝ $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{| x + 3 | - 3}$ 是奇函数

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8. 下列函数 $f （ x ）$ 中，满足“对任意 $x_{1} ， x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ 都有 $f (x_{1}) > f (x_{2})$ ”的是（）

A、 $f （ x ） = \sqrt{x}$ B、 $f （ x ） = x - \frac{2}{x}$ C、 $f （ x ） = x^{2} + x - 2$ D、 $f （ x ） = - x^{3}$

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二、多选题

9. 对于函数 $f (x) = a x^{3} + b x + c (a, b \in R, c \in Z)$ 选取 $a, b, c$ 的一组值去计算 $f (- 1)$ 和 $f (1)$ 所得出的正确结果可能为（）

A、2和6 B、3和9 C、4和11 D、5和13

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10. 下列说法正确的是（）

A、若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- 1) = f (1)$ ，则 $f (x)$ 是偶函数 B、若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- 1) \neq f (1)$ ，则 $f (x)$ 不是偶函数 C、若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- 1) < f (1)$ ，则 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数 D、若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- 1) < f (1)$ ，则 $f (x)$ 在 $R$ 上不是减函数

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11. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 (a - 1) x + a$ ，若对于区间 $[- 1, 2]$ 上的任意两个不相等的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，都有 $f (x_{1}) \neq f (x_{2})$ ，则实数 $a$ 的取值范围可以是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $[0, 3]$ C、 $[- 1, 2]$ D、 $[3, + \infty)$

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12. 已知函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[a ， b] ， a < c < b$ .下列说法中错误的是（）

A、若 $f (x)$ 在 $[a ， c]$ 上是增函数，在 $[c ， b]$ 上是减函数，则 $f {(x)}_{\max} = f (c)$ B、若 $f (x)$ 在 $[a ， c)$ 上是增函数，在 $[c ， b]$ 上是减函数，则 $f {(x)}_{\max} = f (c)$ C、若 $f (x)$ 在 $(a ， c]$ 上是增函数，在 $[c ， b]$ 上是减函数，则 $f {(x)}_{\max} = f (c)$ D、若 $f (x)$ 在 $[a ， c]$ 上是增函数，在 $(c ， b)$ 上是减函数，则 $f {(x)}_{\max} = f (c)$

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三、填空题

13. 函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x (2 - x)$ ，则 $f (2) =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + (b - 3) x + 3$ ， $(a^{2} - 2 \leq x \leq a)$ 为偶函数，则 $a + b =$ ．

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15. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x (x - 2), & x \geq 0 \\ x (a - x), & x < 0 \end{array},$ 对∀x∈R，有f( $-$ x)+f(x)=0，则实数a的值为.

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16. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，在 $(- \infty, 0)$ 上单调，且为奇函数．若 $f (- 3) = - 2 ， f (- 1) = 2$ ，则满足 $- 2 \leq f (1 - x) \leq 2$ 的x的取值范围是．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{2 x}{x - 1}$ ， $x \in [2, 9]$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性并证明；

(2)、求函数 $f (x)$ 的最大值和最小值.

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18. 已知：函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ ，

(1)、求函数f（x）的定义域；判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；

(2)、判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

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19. 已知函数 $f (x) = a x + b$ 是R上的奇函数，且 $f (1) = 2$ ．

(1)、求a，b；

(2)、用函数单调性的定义证明 $f (x)$ 在R上是增函数．

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20. 已知函数 $f (x) = - x + \frac{a}{x}$ ，其中 $a \in R$ ， $f (2) = 0$ ，函数 $g (x) = {\begin{array}{l} f (x), x \geq 1 \\ 2 x + 1, x < 1 \end{array}$ .

(1)、求 $a$ 的值并用定义法证明函数 $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上单调递减；

(2)、若 $g (m) > g (m + 1)$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的减函数，对于任意的 $x_{1}, x_{2} \in R$ 都有 $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) + f (x_{2})$ ，

(1)、求 $f (0)$ ，并证明 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数；

(2)、若 $f (- 1) = 2$ ，解关于 $x$ 的不等式 $f (x) - f (3 - x) < 4$ .

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22. 已知函数 $f (x) = x | x - a |$ ，其中a为常数.

(1)、当 $a = 1$ 时，解不等式 $f (x) < 2$ ；

(2)、若 $f (x)$ 是奇函数，判断并证明 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若在 $[0 ， 2]$ 上存在2021个不同的实数 $x_{i} (i = 1 ， 2. \dots ， 2021)$ ， $x_{1} < x_{2} < \dots < x_{2021}$ ，使得 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) | + | f (x_{2}) - f (x_{3}) | + \dots + | f (x_{2020}) - f (x_{2021}) | = 8$ ，求实数a的取值范围.

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