浙江省台州市临海区2021年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2021-06-04 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下面四个环境保护图案，属于中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 一种面粉的重量标识为“ $20 \pm 0.25 kg$ ”，则下列面粉重量合格的是（）

A、 $19.51 kg$ B、 $19.80 kg$ C、 $20.30 kg$ D、 $20.70 kg$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $2 a + 3 b = 5 a b$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 $a^{8} \div a^{2} = a^{6}$ D、 ${(a^{2} b)}^{2} = a^{4} b$

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4. 有四张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字2，3，4，5.从中任意抽取两张，则下列事件为不可能事件的是（）

A、两张卡片的数字之和等于4 B、两张卡片的数字之和等于5 C、两张卡片的数字之和等于6 D、两张卡片的数字之和等于7

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5. 如图，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45 °$ 得到 $△ A B^{'} C^{'} ， A C = 4$ ，则点 $C$ 经过的路径长为（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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6. 若把分式 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 中的 $x ， y$ 同时扩大2倍，则分式的值（）

A、是原来的2倍 B、是原来的 $\frac{1}{2}$ C、是原来的 $\frac{1}{4}$ D、不变

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7. 如图，为测量楼高 $A B$ ，在适当位置竖立一根高 $2 m$ 的标杆 $M N$ ，并在同一时刻分别测得其落在地面上的影长 $A C = 20 m ， M P = 2.5 m$ ，则楼高 $A B$ 为（）

A、 $15 m$ B、 $16 m$ C、 $18 m$ D、 $20 m$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是 $A C$ 的中点，分别以点 $A ， C$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧交于 $M$ ，直线 $M D$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，连接 $A E$ .若 $A D = 3 ， △ A B E$ 的周长为10，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、13 B、14 C、15 D、16

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9. 路程 $s$ ，速度 $v$ ，时间 $t$ 三者之间的关系式为 $s = v t$ ，当其中一个量是常量时，另外两个变量的函数图象不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 四则运算符号有+，-，×，÷，现引入两个新运算符号∨，∧，合称“六则运算”. $a \lor b$ 的运算结果是 $a$ 和 $b$ 中较大的数， $a \land b$ 的运算结果是 $a$ 和 $b$ 中较小的数.下列等式不一定成立的是（）

A、 $(a \lor b) + (a \land b) = a + b$ B、 $(- a) \lor (- b) = - (a \land b)$ C、 $(a \lor b) \times c = (a c) \lor (b c)$ D、 $a - (b \lor c) = (a - b) \land (a - c)$

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二、填空题

11. 请你写出一个大于1而小于5 的无理数.

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12. 盒子里有3支红色笔芯，2支黑色笔芯，每支笔芯除颜色外均相同.从中任意拿出一支笔芯，则拿出红色笔芯的概率是.

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13. 如图，菱形 $A B C D$ 中，已知 $∠ D = 110 °$ ，则 $∠ B A C$ 的度数为.

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14. 一种笔记本售价为6.3元/本，若一次性购买超过20本，则让利优惠，所买笔记本每本均按 $x$ 元销售，要使让利后的销售额大于20本的销售额，则 $x$ 的取值范围为.

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15. 若 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 是一次函数 $y = a x + 2$ 图象上两个不同的点，且 $\frac{x_{1} - x_{2}}{y_{1} - y_{2}} = 3$ ，则 $a =$ .

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16. 如图， $⊙ O$ 是锐角三角形 $A B C$ 的外接圆， $A B = 8 ， ∠ A C B = 60 °$ ，且 $B C > A C$ ，点 $D$ 是 $△ A B C$ 高线的交点，连接 $A D ， B D ， C D$ ，则 $∠ A D B$ 的度数为， $C D$ 的长为.

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三、解答题

17. 计算： $| - 4 | + {(π - 2021)}^{0} - \sqrt{9}$ .

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18. 解方程组： ${\begin{matrix} 2 x - y = 5 \\ 3 x + 2 y = 4 \end{matrix}$

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19. 临海大桥主塔是一个轴对称图形（如图所示），小明测得桥面宽度 $A B = 32$ 米， $∠ O A B = 73 °$ ，求点 $O$ 到桥面 $A B$ 的距离.（结果精确到0.1米，参考数据： $\sin 73 ° \approx 0.96 ， \cos 73 ° \approx 0.29 ， \tan 73 ° \approx 3.27$ ）

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20. 如图，抛物线的顶点坐标为 $A (2 ， - 1)$ ，且过点 $B (0 ， 3)$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当 $1 < x < 4$ 时，求 $y$ 的取值范围.

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21. 4月23日是世界读书日，某校为了解七年级16个班级780名学生每周的课外阅读时间，随机抽取3个班级，每个班级10名学生.收集到每周用于课外阅读的时间（单位：分钟）相关数据如下：

甲班：20，30，30，30，30，50，70，100，110，130

乙班：40，40，60，60，60，70，80，100，120，130

丙班：20，20，20，40，50，70，110，130，140，140

分析数据得到部分统计量如下表：

班级	平均数	众数	中位数
甲班	60	30	40
乙班	76	$a$	65
丙班	74	20	$b$

(1)、表格中：

a =

；

b =

；

(2)、根据统计数据，请对甲、乙、丙三个班级学生每周课外阅读的时间进行排名，并说出你的理由；

(3)、估计该校七年级学生每周课外阅读时间至少60分钟大约多少人？

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22. 如图，⊙ $O$ 是 $Δ A B C$ 的外接圆，且 $A B = A C$ ，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，边 $C D$ 与⊙ $O$ 交于点 $E$ ，连接 $A E$ .

(1)、求证： $A E = A D$ ；

(2)、若 $∠ B = 72 °$ ，求证：点 $E$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点.

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23. 在三角形中，一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差.

(1)、概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差为；在底边长为2的等腰三角形中，底角的勾股差为；

(2)、性质探究：如图1， $C D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $A C = b ， B C = a ， A B = 2 c ， C D = d$ ，记 $△ A C D$ 中 $∠ A D C$ 的勾股差为 $m ， △ B C D$ 中 $∠ B D C$ 的勾股差为 $n$ ；
①求 $m ， n$ 的值（用含 $a ， b ， c ， d$ 的代数式表示）；

②试说明 $m$ 与 $n$ 互为相反数；

(3)、性质应用：如图2，在四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 与 $F$ 分别是 $A B$ 与 $B C$ 的中点，连接 $B D ， D E ， D F$ ，若 $\frac{D F}{A B} = \frac{3}{4}$ ，且 $C D ⊥ B D ， C D = A D$ ，求 $\frac{D E}{D F}$ 的值.

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24. （发现问题）
小聪发现图1所示矩形甲与图2所示矩形乙的周长与面积满足关系： $\frac{C_{乙}}{C_{甲}} = \frac{S_{乙}}{S_{甲}} = \frac{1}{2}$ .

（提出问题）

对于任意一个矩形 $A$ ，是否一定存在矩形 $B$ ，使得 $\frac{C_{B}}{C_{A}} = \frac{S_{B}}{S_{A}} = \frac{1}{2}$ 成立？

（解决问题）

(1)、对于图2所示的矩形乙，是否存在矩形丙（可设两条邻边长分别为 $x$ 和 $7 - x$ ），使得 $\frac{C_{丙}}{C_{乙}} = \frac{S_{丙}}{S_{乙}} = \frac{1}{2}$ 成立.若存在，求出矩形丙的两条邻边长；若不存在，请说明理由；

(2)、矩形 $A$ 两条邻边长分别为 $m$ 和1，若一定存在矩形 $B$ ，使得 $\frac{C_{B}}{C_{A}} = \frac{S_{B}}{S_{A}} = \frac{1}{2}$ 成立，求 $m$ 的取值范围；

(3)、请你回答小聪提出来的问题.若一定存在，请说明理由；若不一定存在，请直接写出矩形 $A$ 两条邻边长 $a ， b$ 满足什么条件时一定存在矩形 $B$ .

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