人教A版2019必修一第二章一元二次函数、方程与不等式单元测试

试卷更新日期：2021-06-04 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 不等式 $2 - x - x^{2} > 0$ 的解集是（）

A、{x|x<－1或x>1} B、{x|－1<x<2} C、{x|x<－1或x>2} D、{x|－2<x<1}

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2. 若 $M = a^{2} + 3 a b$ ， $N = 5 a b - b^{2}$ ，则 $M$ ， $N$ 的大小关系是（）

A、 $M > N$ B、 $M ⩾ N$ C、 $M < N$ D、 $M ⩽ N$

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3. 若集合 $A = {x | x > 1}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 3]$ B、 $[1, 3]$ C、 $[- 1, 1)$ D、 $[- 1, + \infty)$

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4. 已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $a b = 10$ ，则 $2 a + 5 b$ 的最小值是（）

A、10 B、20 C、15 D、25

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5. 已知实数 $x, y > 0$ , 满足 $x + y = 2$ ，则 $\frac{y}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、3 C、 $\frac{7}{2}$ D、5

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6. 已知 $a, b \in R$ ，则“ $a > 0$ ， $b > 0$ ”是“ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点 $F$ 在半圆 $O$ 上，点 $C$ 在直径 $A B$ 上，且 $O F ⊥ A B$ ，设 $A C = a$ ， $B C = b$ ，则该图形可以完成的无字证明为（）

A、 $\frac{a + b}{2} > \sqrt{a b} (a > b > 0)$ B、 $a^{2} + b^{2} > 2 a b (a > b > 0)$ C、 $\frac{2 a b}{a + b} < \sqrt{a b} (a > b > 0)$ D、 $\frac{a + b}{2} < \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} (a > b > 0)$

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8. 若两个正实数 $x ， y$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1$ ，且不等式 $x + \frac{y}{4} < m^{2} - 3 m$ 有解，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 ${m | - 1 < m < 4}$ B、 ${m | m < - 1$ 或 $m > 4}$ C、 ${m | - 4 < m < 1}$ D、 ${m | m < 0$ 或 $m > 3}$

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二、多选题

9. 已知a ， b ， c满足 $a > b > c$ ，且 $a c < 0$ ，则下列不等式中恒成立的有（）

A、 $\frac{b}{a} > \frac{c}{a}$ B、 $\frac{b - a}{c} > 0$ C、 $\frac{b^{2}}{c} > \frac{a^{2}}{c}$ D、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{c}$

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10. 下列四个不等式中，解集为 $\emptyset$ 的是（）

A、 $- x^{2} + x + 1 \leq 0$ B、 $2 x^{2} - 3 x + 4 < 0$ C、 $x^{2} + 6 x + 9 \leq 0$ D、 $- x^{2} + 4 x - (a + \frac{4}{a}) > 0 (a > 0)$

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11. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ .若 $4 a + b = 1$ ，则（）

A、 $\frac{1}{4 a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为9 B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为9 C、 $(4 a + 1) (b + 1)$ 的最大值为 $\frac{9}{4}$ D、 $(a + 1) (b + 1)$ 的最大值为 $\frac{9}{4}$

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12. 设 $a > 1$ ， $b > 1$ 且 $a b - (a + b) = 1$ ，那么（）

A、a+b有最小值 $2 + 2 \sqrt{2}$ B、a+b有最大值 $2 + 2 \sqrt{2}$ C、ab有最大值 $1 + \sqrt{2}$ D、ab有最小值 $3 + 2 \sqrt{2}$

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三、填空题

13. 不等式 ${(x - 2)}^{2} \leq 4$ 的解集为

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14. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 2$ ，则下列不等式：
$① a b \leq 1$ ； $② \sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ ； $③ a^{2} + b^{2} \geq 2$ ； $④ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2$ ，

其中成立的是 $($ 写出所有正确命题的序号 $)$

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15. 函数y=x+ $\frac{4}{x - 1}$ （x＞1）的最小值是．

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16. 满足不等式|x﹣A|＜B（B＞0，A∈R）的实数x的集合叫做A的B邻域，若a+b﹣2的a+b邻域是一个关于原点对称的区间，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 解下列不等式：

(1)、 $2 x^{2} - 5 x + 3 < 0$ ；

(2)、 $- 3 x^{2} + x + 4 \leq 0$ .

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18. 若不等式 $a x^{2} + 5 x - 2 > 0$ 的解集是 ${x | \frac{1}{2} < x < 2}$ .

(1)、求不等式 $a x^{2} - 5 x + a^{2} - 1 > 0$ 的解集；

(2)、已知二次不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 ${x | x 〈 \frac{1}{3} 或 x 〉 \frac{1}{2}}$ ，求关于 $x$ 的不等式 $c x^{2} - b x + a > 0$ 的解集.

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19. 已知 $x > 0, y > 0$ ，且 $x + 4 y = 40$ .

(1)、求 $x y$ 的最大值；

(2)、求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值.

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20. 设 $f (x) = x^{2} - (a - 1) x + a - 2$ .

(1)、若不等式 $f (x) \geq - 2$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ ( $a \in R$ ).

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21. 已知 $f (x) = 2 x^{2} + (a - 2) x + a$ .

(1)、若方程 $f (x) = 0$ 在 $[- 1, 1]$ 上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；

(2)、解关于x的不等式 $f (x) < a^{2}$ .

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22. 已知关于x的不等式 $(k x - k^{2} - 9) (x - 6) > 0$ ，其中 $k \in R$ ．

(1)、当k变化时，试求不等式的解集A；

(2)、对于不等式的解集A，若满足 $A \cap Z = B$ （其中Z为整数集）．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少时k的所有取值；若不能，请说明理由

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