人教A版2019必修一2.2基本不等式同步练习

试卷更新日期：2021-06-04 类型：同步测试

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一、单选题

1. 若 $x > 0, y > 0$ 且 $x + y = 4$ ，则下列不等式中恒成立的是（）

A、 $\frac{1}{x + y} > \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq 1$ C、 $\sqrt{x y} \geq 2$ D、 $\frac{1}{x y} \geq 1$

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2. 已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $2 a + 3 b = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为（）

A、15 B、 $8 + 2 \sqrt{3}$ C、16 D、 $8 + 4 \sqrt{3}$

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3. 已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 2 a b$ ，则 $2 a + 6 b$ 的最小值（）

A、6 B、 $4 + \sqrt{3}$ C、10 D、 $4 + 2 \sqrt{3}$

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4. 已知正数 $a$ 、 $b$ 满足 $a + b = 1$ ，则 $\sqrt{a b}$ 有（）

A、最小值 $\frac{1}{2}$ B、最小值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、最大值 $\frac{1}{2}$ D、最大值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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5. 已知： $a, b \in R^{+}$ ，且 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $2 a + b$ 取到最小值时， $a + b =$ （）

A、9 B、6 C、4 D、3

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6. 若正数 $x, y$ 满足 $\frac{3}{x} + \frac{1}{y} = 5$ ,则 $3 x + 4 y$ 的最小值是（）

A、 $\frac{24}{5}$ B、 $\frac{28}{5}$ C、5 D、6

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7. 若 $0 < a < 1$ ， $0 < b < 1$ ，把 $a + b$ ， $2 \sqrt{a b}$ ， $2 a b$ 中最大与最小者分别记为 $M$ 和 $m$ ，则（）

A、 $M = a + b$ ， $m = 2 a b$ B、 $M = 2 a b$ ， $m = 2 \sqrt{a b}$ C、 $M = a + b$ ， $m = 2 \sqrt{a b}$ D、 $M = 2 \sqrt{a b}$ ， $m = 2 a b$

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8. 函数 $y = 2 x + \frac{2}{x - 1} (x > 1)$ 的最小值是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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二、多选题

9. 已知 $a ， b ， c \in R$ 且 $a > b > c > 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $2 a > b + c$ B、 $a (c - b) > b (c - b)$ C、 $\frac{1}{b} < \frac{1}{c}$ D、 $b - c > a - c$

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10. 已知 $a, b$ 为非零实数，则下列不等式正确的是（）

A、 $a + \frac{1}{a} \geq 2$ B、 $- 2 a b \leq a^{2} + b^{2}$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq a b$ D、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$

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11. 若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 2$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $\sqrt{a b} \geq 1$ B、 $\frac{1}{a b} \geq 1$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq 2$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2$

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12. 下列各结论正确的是（）

A、“xy>0”是“ $\frac{x}{y}$ >0”的充要条件 B、 $\sqrt{x^{2} + 9} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 9}}$ 的最小值为2 C、命题“∀x>1，x²-x>0”的否定是“∃x≤1，x²-x≤0” D、“一元二次函数y=ax²+bx+c的图象过点(1，0)”是“a+b+c=0”的充要条件

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三、填空题

13. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ 且 $a + 2 b = 5$ ，则 $a b + \frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为.

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14. 周长为12的矩形，其面积的最大值为；

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15. 当 $x > 1$ 时， $x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值为.

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16. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．

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四、解答题

17.

(1)、把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？

(2)、把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？

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18. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $2 x + 8 y - x y = 0$ .

(1)、求 $x y$ 的最小值；

(2)、求 $x + y$ 的最小值.

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19. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1$ ．

(1)、求 $x + y$ 的最小值；

(2)、若 $x y > m^{2} + 6 m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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20.

(1)、若正实数 $x, y$ 满足 $2 x + y = x y$ ，求 $x + 2 y$ 的最小值；

(2)、求函数 $y = \frac{x^{2} + 7 x + 10}{x + 1} (x > - 1)$ 的最小值.

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21. 已知正数x，y满足 $x + 2 y = 3$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为k．

(1)、求k．

(2)、若a，b，c为正数，且 $a + b + c = k$ ，证明： $\frac{b^{2}}{a} + \frac{c^{2}}{b} + \frac{a^{2}}{c} + 3 \geq 2 k$ ．

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22.

(1)、若 $a, b$ 是正常数， $x, y \in (0, + \infty)$ ，求证： $\frac{a^{2}}{x} + \frac{b^{2}}{y} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{x + y}$ (当且仅当 $a y = b x$ 时等号成立)．

(2)、求函数 $f (x) = \frac{2}{x} + \frac{25}{1 - 2 x} (0 < x < \frac{1}{2})$ 的最小值，并求此时 $x$ 的值．

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